Calcule o determinante de cada uma das seguintes matrizes e indique as que são invertíveis
i) [llll1 & 0 & 0 & 2 0 & 1 & 2 & 3 0 & 2 & 1 & 2 3 & 3 & 0 & 1]

Passo 1

O enunciado pede o cálculo do determinante de uma matriz 4times4 e, com base nele, dizer se essa matriz é invertível. O conteúdo necessário é a definição de determinante por expansão de Laplace (cofatores) e a condição de invertibilidade: uma matriz quadrada é invertível se, e somente se, seu determinante for diferente de zero.

Passo 2

Vamos usar a expansão de Laplace ao longo da primeira linha da matriz
A = 1 & 0 & 0 & 2 0 & 1 & 2 & 3 0 & 2 & 1 & 2 3 & 3 & 0 & 1
Chamando de Mij o menor que resulta de eliminar a linha i e a coluna j, temos
det(A) = a11C11 + a14C14 = 1cdot(+1)det(M11) ;+; 2cdot(-1)^1+4det(M14) ;=;det(M11) ;-;2,det(M14)

Passo 3

Calculemos os menores:
  • M11 é a submatriz obtida removendo linha 1 e coluna 1, isto é
M11 = 1 & 2 & 3 2 & 1 & 2 3 & 0 & 1 ,
então
det(M11) = 1l(1cdot1 - 2cdot0r) -2l(2cdot1 - 2cdot3r) +3l(2cdot0 -1cdot3r) =1 -2(2-6)+3(0-3) =1+8-9 =0
  • M14 é a submatriz removendo linha 1 e coluna 4, isto é
M14 = 0 & 1 & 2 0 & 2 & 1 3 & 3 & 0 ,
então
det(M14) =0l(2cdot0-1cdot3r) -1l(0cdot0-1cdot3r) +2l(0cdot3-2cdot3r) =0 -1(-3)+2(-6) =3-12 =-9

Passo 4

Substituindo em det(A)=det(M11)-2,det(M14), temos
det(A)=0 -2(-9)=18
Como det(A)=18neq0, concluímos que a matriz é invertível.

Resposta

det(A)=18. Portanto, a matriz é invertível.

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