Dado os vetores u=(1,2,0) e v=(3,-1,4), calcule o produto vetorial u times v e determine a área do paralelogramo formado por u e v.

Passo 1

O enunciado dá os vetores u=(1,2,0) e v=(3,-1,4) e pede dois itens:
  1. O produto vetorial utimesv.
  2. A área do paralelogramo gerado por u e v.
    Conteúdo: produto vetorial de vetores em R^3 e cálculo de norma de vetor para obter área.

Passo 2

Para calcular utimesv usamos a fórmula por componentes:
utimesv ;=;l(u2v3 - u3v2,;u3v1 - u1v3,;u1v2 - u2v1r)
Substituindo u1=1, u2=2, u3=0 e v1=3, v2=-1, v3=4, obtemos
u2v3 - u3v2 = 2cdot4 - 0cdot(-1) = 8,
u3v1 - u1v3 = 0cdot3 - 1cdot4 = -4,
u1v2 - u2v1 = 1cdot(-1) - 2cdot3 = -1 - 6 = -7.
Logo,
utimesv = (8,,-4,,-7)

Passo 3

A área do paralelogramo formado por u e v é o módulo de utimesv. Calculamos a norma:
|utimesv| = raiz8^2 + (-4)^2 + (-7)^2 = raiz64 + 16 + 49 = raiz129

Resposta

utimesv = (8,,-4,,-7)
Área do paralelogramo = raiz129

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