Dados os vetores a=(2,-3,1) e b=(4,1,-2), calcule o produto escalar a cdot b e determine o ângulo theta entre os dois vetores.

Passo 1

O enunciado dá os vetores a=(2,-3,1) e b=(4,1,-2) e pede (1) o produto escalar acdotb e (2) o ângulo theta entre eles. Vamos usar a definição de produto escalar em R^3 e a relação
costheta = acdotb|a||b|

Passo 2

Calculamos o produto escalar pela soma dos produtos das componentes correspondentes:
acdotb =2cdot4 + (-3)cdot1 + 1cdot(-2) =8 - 3 - 2 =3

Passo 3

A seguir, achamos as normas dos vetores:
|a| = raiz2^2 + (-3)^2 + 1^2 = raiz4 + 9 + 1 = raiz14,
|b| = raiz4^2 + 1^2 + (-2)^2 = raiz16 + 1 + 4 = raiz21

Passo 4

Usando a fórmula do cosseno do ângulo,
costheta = acdotb|a||b| = 3raiz14,raiz21 = 3raiz294 = 37raiz6
Logo,
theta = arccos!gl(3raiz294gr)

Passo 5

Para obter uma estimativa em graus, calculamos numericamente:
3raiz294approx0,175 Longrightarrow thetaapproxarccos(0,175)approx80^circ

Resposta

acdotb=3
thetaapprox80^circ

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