Calcule o determinante de cada uma das seguintes matrizes usando operações elementares para transformá-las em matrizes triangulares superiores.
[llll2 & 1 & 3 & 1 1 & 0 & 1 & 1 0 & 2 & 1 & 0 0 & 1 & 2 & 3]

Passo 1

O enunciado pede para calcular o determinante da matriz
A = 2 & 1 & 3 & 1 1 & 0 & 1 & 1 0 & 2 & 1 & 0 0 & 1 & 2 & 3
usando operações elementares de linha para transformá-la em uma matriz triangular superior. Vamos lembrar que:
– trocar duas linhas muda o sinal do determinante;
– somar múltiplos de uma linha a outra não altera o determinante.

Passo 2

Primeiro, trocamos R1 e R2, de modo que o pivô fique 1. Após a troca a matriz é
1 & 0 & 1 & 1 2 & 1 & 3 & 1 0 & 2 & 1 & 0 0 & 1 & 2 & 3
e o determinante passa a valer -det da nova matriz.

Passo 3

Com pivô a11=1, eliminamos o elemento abaixo em R2 usando
R2 R2 - 2R1,
ficando
1 & 0 & 1 & 1 0 & 1 & 1 & -1 0 & 2 & 1 & 0 0 & 1 & 2 & 3

Passo 4

Agora o pivô é a22=1. Eliminamos abaixo em R3 e R4 com
R3 R3 - 2R2, R4 R4 - R2,
resultando em
1 & 0 & 1 & 1 0 & 1 & 1 & -1 0 & 0 & -1 & 2 0 & 0 & 1 & 4

Passo 5

Por fim, com pivô a33=-1, eliminamos o elemento em R4 usando
R4 R4 + R3,
o que leva à forma triangular superior
1 & 0 & 1 & 1 0 & 1 & 1 & -1 0 & 0 & -1 & 2 0 & 0 & 0 & 6

Passo 6

O determinante da matriz triangular é o produto dos elementos da diagonal:
1 times 1 times (-1)times 6 = -6
Lembrando que fizemos uma troca de linhas no início, o determinante original é
-1 times (-6) = 6

Resposta

O determinante da matriz dada é ;6;.

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