Mostre que se k é um escalar e An times n é uma matriz, então det(k A)=k^n det(A)

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que, para todo escalar k e toda matriz quadrada A de ordem n, vale
det(kA)=k^ndet(A)
O conteúdo que vamos usar é a multilinearidade do determinante em relação às linhas (ou colunas) de A.

Passo 2

Escrevemos A pelas suas linhas r1, r2,dots, rn, ou seja,
A = r1 r2 vdots rn ,
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kA = k r1 k r2 vdots k rn

Passo 3

Pela multilinearidade do determinante em cada linha, ao fatorar k numa linha forma-se um fator k fora do determinante. Como temos n linhas cada uma com fator k, obtemos
det(kA) =detl(k r1,,k r2,dots,k rnr) =kcdot kcdots k;det( r1,dots, rn) =k^ndet(A)

Resposta

det(kA)=k^ndet(A)

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