Classifique as afirmações abaixo em verdadeiro ou falso, justificando claramente cada uma de suas respostas. Se for falso dê um contraexemplo e se for verdadeiro mostre a afirmação.
(a) Se A e B são matrizes quadradas de mesma ordem, então det(A-B)=det(A)-det(B).
(b) Se A é uma matriz com det(A)=4 e sobre as linhas de A são realizadas as seguintes operações elementares: L1 rightarrow L2, L4-2 L3 L4 e 3 L5 L5, obtendo assim uma matriz M com det(M)=-12.
(c) Sejam A e B matrizes quadradas tal que o produto A B é inversível, então A e B são inversíveis.
(d) Mostre que se A^T=A^-1, então det(A)= pm 1
(e) O determinante de A B é igual ao determinante de B A

Passo 1

O problema pede para classificarmos cada uma das afirmações (a)–(e) em verdadeiro ou falso e justificar. Vamos usar propriedades de determinante (linearidade em linhas, produto de determinantes, relação com invertibilidade e com transposta) para resolver.

Passo 2

(a) Falso. Em geral não vale
det(A - B) neq det(A) - det(B)
Contraexemplo em 2times2:
A = 1&00&1, B = 2&00&2
Então
det(A - B)=detl(-1&00&-1r)=(-1)^2=1,
enquanto
det(A)-det(B)=1-4=-3
Como 1neq -3, a afirmação é falsa.

Passo 3

(b) Verdadeiro. Partindo de det(A)=4, aplicamos as operações sobre linhas e atualizamos o determinante:
  1. L1rightarrow L2 muda o sinal: de 4 para -4.
  2. L4-2L3to L4 é operação do tipo “adicionar múltiplo de linha” — não altera o determinante, permanece -4.
  3. 3L5to L5 multiplica a linha por 3, então det passa de -4 para -4cdot3=-12.
    Logo det(M)=-12 está correto.

Passo 4

(c) Verdadeiro. Se AB é invertível então det(AB)neq0. Mas
det(AB)=det(A),det(B)neq0
implica det(A)neq0 e det(B)neq0. Assim A e B são invertíveis.

Passo 5

(d) Verdadeiro. Se A^T=A^-1, tomando determinante em ambos os lados,
det(A^T)=det(A^-1) Longrightarrow det(A)=1det(A),
pois det(A^T)=det(A) e det(A^-1)=1/det(A). Daí
det(A)^2=1 Longrightarrow det(A)=pm1

Passo 6

(e) Verdadeiro. Usando a propriedade multiplicativa do determinante,
det(AB)=det(A),det(B) =det(B),det(A) =det(BA)

Resposta

(a) Falso
(b) Verdadeiro
(c) Verdadeiro
(d) Verdadeiro
(e) Verdadeiro

Exercícios relacionados