Classifique as afirmações abaixo em verdadeiro ou falso, justificando claramente cada uma de suas respostas. Se for falso dê um contraexemplo e se for verdadeiro mostre a afirmação.
(a) Se
e
são matrizes quadradas de mesma ordem, então
.
(b) Se
é uma matriz com
e sobre as linhas de
são realizadas as seguintes operações elementares:
e
, obtendo assim uma matriz
.
(c) Sejam
e
matrizes quadradas tal que o produto
é inversível, então
e
são inversíveis.
(d) Mostre que se
, então
(e) O determinante de
é igual ao determinante de
(a) Se
(b) Se
(c) Sejam
(d) Mostre que se
(e) O determinante de
Passo 1
O problema pede para classificarmos cada uma das afirmações (a)–(e) em verdadeiro ou falso e justificar. Vamos usar propriedades de determinante (linearidade em linhas, produto de determinantes, relação com invertibilidade e com transposta) para resolver.
Passo 2
(a) Falso. Em geral não vale
Contraexemplo em
:
Então
enquanto
Como
, a afirmação é falsa.
Passo 3
(b) Verdadeiro. Partindo de
, aplicamos as operações sobre linhas e atualizamos o determinante:
-
muda o sinal: de para . -
é operação do tipo “adicionar múltiplo de linha” — não altera o determinante, permanece . -
multiplica a linha por , então passa de para .
Logoestá correto.
Passo 4
(c) Verdadeiro. Se
é invertível então
. Mas
implica
e
. Assim
e
são invertíveis.
Passo 5
(d) Verdadeiro. Se
, tomando determinante em ambos os lados,
pois
e
. Daí
Passo 6
(e) Verdadeiro. Usando a propriedade multiplicativa do determinante,
Resposta
(a) Falso
(b) Verdadeiro
(c) Verdadeiro
(d) Verdadeiro
(e) Verdadeiro
(b) Verdadeiro
(c) Verdadeiro
(d) Verdadeiro
(e) Verdadeiro