Calcule o determinante das seguintes matrizes:
[cccos beta t & sen beta t alpha cos beta t-beta sen beta t & alpha sen beta t+beta cos beta t]

Passo 1

O enunciado pede o determinante de uma matriz 2times2 com entradas envolvendo funções trigonométricas de beta t. Vamos usar a definição de determinante para matrizes 2times2 e a identidade trigonométrica cos^2x+sin^2x=1.

Passo 2

Para uma matriz
M = a & b c & d ,
o determinante é dado por
det(M)=a,d - b,c

Passo 3

No nosso caso,
a=cos(beta t), b=sin(beta t),
c=alphacos(beta t)-betasin(beta t), d=alphasin(beta t)+betacos(beta t)
Substituindo na fórmula:
det(M) =cos(beta t)l(alphasin(beta t)+betacos(beta t)r) -sin(beta t)l(alphacos(beta t)-betasin(beta t)r)

Passo 4

Expandindo e agrupando:
det(M) =alphacos(beta t)sin(beta t)+betacos^2(beta t) -alphasin(beta t)cos(beta t)+betasin^2(beta t)
Os termos com alpha se cancelam, restando
det(M) =betal(cos^2(beta t)+sin^2(beta t)r) =betacdot 1 =beta

Resposta

beta

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