Calcule o determinante de ccc2 & 0 & -1 3 & 0 & 2 4 & -3 & 7
(a) usando o desenvolvimento de Laplace pela segunda coluna.
(b) por escalonamento Inverta M (se possível) pelo escalonamento.

Passo 1

O enunciado pede para calcular o determinante da matriz
M = 2 & 0 & -1 3 & 0 & 2 4 & -3 & 7
(a) usando o desenvolvimento de Laplace pela segunda coluna, (b) usando escalonamento, e em seguida, inverter M (se possível) pelo método de Gauss–Jordan. Vamos usar teoria de determinantes e eliminação de Gauss–Jordan.

Passo 2

Desenvolvimento de Laplace pela segunda coluna: nessa coluna temos os elementos 0 (linha 1), 0 (linha 2) e –3 (linha 3). Só o terceiro termo contribui. O sinal de cofactor é (-1){3+2}=(-1)5=-1, e o menor correspondente vem de remover a linha 3 e a coluna 2:
2 & -1 3 & 2=2cdot2-3cdot(-1)=4+3=7
Logo,
det(M)=(-1)times(-3)times7=21

Passo 3

Cálculo do determinante por escalonamento: partimos de M e fazemos eliminação para triangular superior.
  1. Pivot em (1,1)=2. Eliminação em R2→R2–(3/2)R1 e em R3→R3–2R1.
  2. Temos então pivô em (2,2) = –3 após trocar R2↔R3 (1 troca inverte o sinal do determinante).
  3. A matriz triangular resultante tem pivôs 2, –3 e 7/2. Assim,
det(M)=2times(-3)timestfrac72times(-1(troca))=21

Passo 4

Inversão de M por Gauss–Jordan: montamos [M|I] e aplicamos operações:
  1. Dividimos R1 por 2, eliminamos em R2 e R3.
  2. Trocamos linhas quando necessário e normalizamos o pivô em (2,2) e (3,3).
  3. Eliminamos acima e abaixo de cada pivô até obter [I|M^{-1}].
    Depois de todos os passos a matriz inversa obtida é
M^-1= tfrac27 & tfrac17 & 0 -tfrac1321 & tfrac67 & -tfrac13 -tfrac37 & tfrac27 & 0

Resposta

O determinante de M é
det(M)=21
A matriz M é invertível e sua inversa é
$$
M^{-1}= M^-1= tfrac27 & tfrac17 & 0 -tfrac1321 & tfrac67 & -tfrac13 -tfrac37 & tfrac27 & 0 .
$$

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