Questão 3. Seja
uma transformação linear e as bases
e
tal que
- Calcule
.
- O operador
é inversivel?Justifique sua resposta.
Passo 1
Temos uma transformação linear Tâ analogia a um “funil” que leva vetores de
e retorna outros vetores em
. Aqui a representação de
na base
é dada por
E queremos achar a representação na outra base
, além de verificar se
é inversível. Para isso, vamos: (1) expressar
em coordenadas de
, (2) calcular
via
, (3) reescrever
em coordenadas de
, e por fim (4) montar
e checar seu determinante.
Passo 2
Para
, escrevemos
. Resolvendo
obtém-se
e
. Logo o vetor de coordenadas de
em
é
. Aplicando
:
Isso significa que
no sistema padrão. Agora escrevemos
resolvendo
Assim a primeira coluna de
é
.
Passo 3
Para
, escrevemos
. Resolvendo
obtém-se
e
. Aplicando
:
Então
. Escrevemos
resolvendo
Logo a segunda coluna de
é
.
Passo 4
Montamos a matriz de
na base
:
Para ver se
é inversível, calculamos o determinante:
Como o determinante é não nulo,
é inversível.