Questão 3. Seja T: R^2 R^2 uma transformação linear e as bases A=(3,4),(5,7) e B= (1,1)(-1,1) tal que
[T]A^A=(cc -2 & 4 2 & -1 )
  • Calcule [T]B^B.
  • O operador T é inversivel?Justifique sua resposta.

Passo 1

Temos uma transformação linear Tâ analogia a um “funil” que leva vetores de R^2 e retorna outros vetores em R^2. Aqui a representação de T na base A=a1=(3,4),;a2=(5,7) é dada por
[T]A^A= -2 & 4 2 & -1
E queremos achar a representação na outra base B=b1=(1,1),;b2=(-1,1), além de verificar se T é inversível. Para isso, vamos: (1) expressar bi em coordenadas de A, (2) calcular T(bi) via [T]A^A, (3) reescrever T(bi) em coordenadas de B, e por fim (4) montar [T]B^B e checar seu determinante.

Passo 2

Para b1=(1,1), escrevemos (1,1)=c1a1+c2a2. Resolvendo
3c1+5c2=1 4c1+7c2=1
obtém-se c1=2 e c2=-1. Logo o vetor de coordenadas de b1 em A é (2,-1). Aplicando [T]A^A:
[T]A^Acdot2-1= -2&42&-12-1= -85
Isso significa que T(b1)=-8a1+5a2=(1,3) no sistema padrão. Agora escrevemos (1,3)=alpha b1+beta b2 resolvendo
alpha-beta=1 alpha+beta=3 implies(alpha,beta)=(2,1)
Assim a primeira coluna de [T]B^B é (2,1).

Passo 3

Para b2=(-1,1), escrevemos (-1,1)=d1a1+d2a2. Resolvendo
3d1+5d2=-1 4d1+7d2=1
obtém-se d1=-12 e d2=7. Aplicando [T]A^A:
[T]A^Acdot-127= -2&42&-1-127= 52-31
Então T(b2)=52a1-31a2=(1,-9). Escrevemos (1,-9)=gamma b1+de resolvendo
gamma-de
Logo a segunda coluna de [T]B^B é (-4,-5).

Passo 4

Montamos a matriz de T na base B:
[T]B^B=2 & -41 & -5
Para ver se T é inversível, calculamos o determinante:
det([T]B^B)=2cdot(-5)-(-4)cdot1=-10+4=-6neq0
Como o determinante é não nulo, T é inversível.

Resposta

[T]B^B=2 & -41 & -5, e T é inversível pois det([T]B^B)=-6neq0.

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