1. Calcule o determinante de A=[ccc2 & 3 & -4 0 & -4 & 2 1 & -1 & 5]3 times 3, usando a 1^ a linha e, de outra maneira, usando a 1 ^ a coluna. Depois, use P6 e o resultado de LAPLACE e rapidamente encontre o determinante da matriz B=[llll2 & 0 & 3 & 0 3 & 0 & 0 & 1 0 & 2 & 3 & 0 2 & 0 & 1 & 4]4 times 4.

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que o exercício está pedindo. A questão solicita que calculemos o determinante da matriz A de duas maneiras diferentes: usando a primeira linha e depois usando a primeira coluna. Além disso, precisamos usar a propriedade P6 e a expansão de Laplace para encontrar rapidamente o determinante da matriz B .
Para resolver isso, vamos precisar conhecer o que é o determinante de uma matriz, como calcular determinantes de matrizes 3 times 3 e 4 times 4 usando expansão de cofatores (ou Laplace), e entender as propriedades das permutações que podem nos ajudar a simplificar os cálculos.

Passo 2

Vamos começar calculando o determinante da matriz A usando a primeira linha. A matriz A é:
A = 2 & 3 & -4 0 & -4 & 2 1 & -1 & 5
Para calcular o determinante usando a primeira linha, aplicamos a regra de Sarrus ou a expansão de cofatores. Vamos usar a expansão de cofatores aqui.

Passo 3

A expansão de cofatores na primeira linha significa que multiplicamos cada elemento da primeira linha pelo seu cofator correspondente e somamos os resultados. O cofator Cij é dado por:
Cij = (-1)^i+j cdot Mij
Onde Mij é o menor complemento.
Vamos calcular cada termo:
  1. Para o elemento a11 = 2 :
C11 = (-1)^1+1 cdot -4 & 2 -1 & 5 = 1 cdot ((-4)(5) - (2)(-1)) = 1 cdot (-20 + 2) = -18
  1. Para o elemento a12 = 3 :
C12 = (-1)^1+2 cdot 0 & 2 1 & 5 = -1 cdot (0 cdot 5 - 2 cdot 1) = -1 cdot (-2) = 2
  1. Para o elemento a13 = -4 :
C13 = (-1)^1+3 cdot 0 & -4 1 & -1 = 1 cdot (0 cdot (-1) - (-4) cdot 1) = 1 cdot (0 + 4) = 4

Passo 4

Agora, somamos os produtos dos elementos da primeira linha pelos seus cofatores:
det(A) = a11 cdot C11 + a12 cdot C12 + a13 cdot C13 = 2 cdot (-18) + 3 cdot 2 + (-4) cdot 4 = -36 + 6 - 16 = -46

Passo 5

Agora, vamos calcular o determinante da mesma matriz A , mas usando a primeira coluna. A matriz A novamente é:
A = 2 & 3 & -4 0 & -4 & 2 1 & -1 & 5
Usando a expansão de cofatores na primeira coluna:

Passo 6

Calculamos cada cofator da primeira coluna:
  1. Para o elemento a11 = 2 :
C11 = (-1)^1+1 cdot -4 & 2 -1 & 5 = 1 cdot (-20 + 2) = -18
  1. Para o elemento a21 = 0 :
C21 = (-1)^2+1 cdot 3 & -4 -1 & 5 = -1 cdot (15 - 4) = -11
  1. Para o elemento a31 = 1 :
C31 = (-1)^3+1 cdot 3 & -4 -4 & 2 = 1 cdot (6 - 16) = -10

Passo 7

Agora, somamos os produtos dos elementos da primeira coluna pelos seus cofatores:
det(A) = a11 cdot C11 + a21 cdot C21 + a31 cdot C31 = 2 cdot (-18) + 0 cdot (-11) + 1 cdot (-10) = -36 + 0 - 10 = -46

Passo 8

Percebemos que, independente de expandirmos pela primeira linha ou pela primeira coluna, o determinante da matriz A é o mesmo. Isso confirma a consistência do cálculo.

Passo 9

Agora, vamos calcular o determinante da matriz B usando a propriedade P6 e a expansão de Laplace de forma mais rápida. A matriz B é uma matriz 4 times 4 :
B = 2 & 0 & 3 & 0 3 & 0 & 0 & 1 0 & 2 & 3 & 0 2 & 0 & 1 & 4
A propriedade P6 refere-se a uma propriedade específica sobre permutações ou operações de linha/coluna que simplificam o cálculo do determinante. Vamos usar a expansão de Laplace na linha ou coluna que contenha mais zeros para simplificar os cálculos.

Passo 10

Observando a matriz B , a primeira coluna tem dois zeros, então é conveniente expandir pelo primeiro coluna. Vamos identificar os elementos não nulos na primeira coluna:
  • b11 = 2
  • b21 = 3
  • b31 = 0
  • b41 = 2

Passo 11

Calculamos os cofatores correspondentes:
  1. Para b11 = 2 :
C11 = (-1)^1+1 cdot 0 & 0 & 1 2 & 3 & 0 0 & 1 & 4 = 1 cdot (0 cdot (3 cdot 4 - 0 cdot 1) - 0 + 1 cdot (2 cdot 1 - 3 cdot 0)) ) = 1 cdot (0 - 0 + 2) = 2
  1. Para b21 = 3 :
C21 = (-1)^2+1 cdot 0 & 3 & 0 2 & 3 & 0 0 & 1 & 4 = -1 cdot (0 - 3 cdot 0 + 0) = 0
  1. Para b41 = 2 :
C41 = (-1)^4+1 cdot 0 & 0 & 1 3 & 0 & 1 0 & 2 & 3 = -1 cdot (0 cdot (0 cdot 3 - 1 cdot 2) - 0 + 1 cdot (3 cdot 2 - 0 cdot 0)) = -1 cdot (0 - 0 + 6) = -6

Passo 12

Agora, calculamos o determinante de B somando os produtos dos elementos da primeira coluna pelos seus cofatores:
det(B) = b11 cdot C11 + b21 cdot C21 + b41 cdot C41 = 2 cdot 2 + 3 cdot 0 + 2 cdot (-6) = 4 + 0 - 12 = -8

Resposta

O determinante da matriz A é -46 e o determinante da matriz B é -8 .

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