Calcule o determinante de , usando a 1^ a linha e, de outra maneira, usando a 1 ^ a coluna. Depois, use P6 e o resultado de LAPLACE e rapidamente encontre o determinante da matriz B=[llll2 & 0 & 3 & 0 3 & 0 & 0 & 1 0 & 2 & 3 & 0 2 & 0 & 1 & 4]4 times 4.
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que o exercício está pedindo. A questão solicita que calculemos o determinante da matriz A de duas maneiras diferentes: usando a primeira linha e depois usando a primeira coluna. Além disso, precisamos usar a propriedade P6 e a expansão de Laplace para encontrar rapidamente o determinante da matriz B .
Para resolver isso, vamos precisar conhecer o que é o determinante de uma matriz, como calcular determinantes de matrizes 3 times 3 e 4 times 4 usando expansão de cofatores (ou Laplace), e entender as propriedades das permutações que podem nos ajudar a simplificar os cálculos.
Passo 2
Vamos começar calculando o determinante da matriz A usando a primeira linha. A matriz A é:
A = 2 & 3 & -4 0 & -4 & 2 1 & -1 & 5
Para calcular o determinante usando a primeira linha, aplicamos a regra de Sarrus ou a expansão de cofatores. Vamos usar a expansão de cofatores aqui.
Passo 3
A expansão de cofatores na primeira linha significa que multiplicamos cada elemento da primeira linha pelo seu cofator correspondente e somamos os resultados. O cofator Cij é dado por:
Percebemos que, independente de expandirmos pela primeira linha ou pela primeira coluna, o determinante da matriz A é o mesmo. Isso confirma a consistência do cálculo.
Passo 9
Agora, vamos calcular o determinante da matriz B usando a propriedade P6 e a expansão de Laplace de forma mais rápida. A matriz B é uma matriz 4 times 4 :
A propriedade P6 refere-se a uma propriedade específica sobre permutações ou operações de linha/coluna que simplificam o cálculo do determinante. Vamos usar a expansão de Laplace na linha ou coluna que contenha mais zeros para simplificar os cálculos.
Passo 10
Observando a matriz B , a primeira coluna tem dois zeros, então é conveniente expandir pelo primeiro coluna. Vamos identificar os elementos não nulos na primeira coluna: