1. Sejam e funções reais deriváveis em . Prove que

Passo 1

O enunciado pede para provar que, para funções reais deriváveis , vale
O conteúdo necessário é a definição de determinante de e a aplicação da regra do produto para derivadas.

Passo 2

Lembramos que, para uma matriz
,
o determinante é
No nosso caso,

Passo 3

Derivando D(x)=f(x),t(x) - g(x),h(x) e usando linearidade e regra do produto, obtemos
ddxl(f,tr) = f',t + f,t', ddxl(g,hr) = g',h + g,h'

Passo 4

Substituindo na expressão de D(x):
dDdx =ddxl(f,t - g,hr) =l(f',t + f,t'r)-l(g',h + g,h'r) =(f',t - g',h)+(f,t' - g,h')

Passo 5

Reconhecemos cada somando como um determinante de :
Somando, chega-se exatamente à identidade exigida.

Resposta

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