1. Dizemos que uma matriz quadrada N neq 0 é nilpotente se, e somente se, existe um inteiro I tal que N^l=0 (matriz nula). Mostre que D=[llll0 & 0 & 1 & 1 0 & 0 & 1 & 1 0 & 0 & 0 & 1 0 & 0 & 0 & 0]4 times 4 é uma matriz nilpotente.

Passo 1

O enunciado nos dá a matriz quadrada
D = 0 & 0 & 1 & 1 [6pt] 0 & 0 & 1 & 1 [6pt] 0 & 0 & 0 & 1 [6pt] 0 & 0 & 0 & 0
e pede para mostrar que ela é nilpotente, ou seja, que existe um inteiro l tal que D^l=0. Como D é estritamente triangular superior (todos os elementos da diagonal principal são zero), sabemos pela teoria que D^n=0 para n igual à ordem da matriz. Aqui vamos encontrar o menor expoente l (índice de nilpotência) por cálculo direto de D^2 e D^3.]

Passo 2

Vamos calcular D^2 = Dcdot D. Como D só tem entradas não nulas em colunas 3 e 4, o produto só poderá gerar não nulos onde a ``cadeia'' de índices permita envolver essas colunas. De fato, verificamos que
D^2 = 0 & 0 & 0 & 1 [4pt] 0 & 0 & 0 & 1 [4pt] 0 & 0 & 0 & 0 [4pt] 0 & 0 & 0 & 0 ,
pois, por exemplo,
(D^2)1,4 = D1,3,D3,4 + D1,4,D4,4 = 1cdot1 + 1cdot0 = 1,
e todas as outras somas de produtos tornam-se zero.]

Passo 3

Agora calculamos
D^3 = D^2 cdot D
Como D^2 só tem entradas possivelmente não nulas na coluna 4 das duas primeiras linhas, e todas as entradas da 4ª linha de D são zero, vemos que cada entrada de D^3 será soma de produtos envolvendo D4,j=0. Logo
D^3 = 04times4

Resposta

A matriz D é nilpotente, pois
D^3 = 04times4

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