1. Determine a inversa da matriz F=[rrr2 & 0 & -1 0 & 0 & 2 1 & 2 & 1]3 times 3 de 03 (três) maneiras distintas.

Passo 1

O enunciado pede a inversa da matriz
F = 2 & 0 & -1 0 & 0 & 2 1 & 2 & 1 ,
usando três métodos diferentes. O conteúdo é inversão de matrizes, e vamos aplicar: 1 fórmula da adjunta, 2 eliminação de Gauss–Jordan, 3 resolução de sistemas F x = ei.

Passo 2

Método 1 – adjunta/cofatores.
1. Calculamos o determinante de F:
det(F) =2det!0&22&1 -0+l(-1r)det!0&01&2 =2(0-4)+0=-8
2. Montamos a matriz de cofatores C e, em seguida, a adjunta adj(F)=C^T:
C= -4 & 2 & 0 -2 & 3 & -4 0 & -4 & 0 , adj(F) =C^T = -4 & -2 & 0 2 & 3 & -4 0 & -4 & 0
3. A inversa é
F^-1=1det(F),adj(F) =-18 -4 & -2 & 0 2 & 3 & -4 0 & -4 & 0 = tfrac12 & tfrac14 & 0 -tfrac14 & -tfrac38 & tfrac12 0 & tfrac12 & 0

Passo 3

Método – eliminação de Gauss–Jordan.
Partimos da matriz aumentada
Fazemos as operações:
. .
. Elimina-se coluna em com .
. Troca para pivotar na coluna .
. .
. (pivot coluna ).
. Elimina-se coluna em e .
No final, o bloco direito vira
idêntico ao do método .

Passo 4

Método 3 – resolver F,x=ei.
Para cada base canônica ei:
1. F x^(1)=e1 leva ao sistema
;2x - z =1,;2z=0,;x+2y+z=0; implies (x,y,z)=(tfrac12,-tfrac14,0) 2. F x^(2)=e2
;2x - z =0,;2z=1,;x+2y+z=0; implies (x,y,z)=(tfrac14,-tfrac38,tfrac12) 3. F x^(3)=e3
;2x - z =0,;2z=0,;x+2y+z=1; implies (x,y,z)=(0,tfrac12,0)
Assim, F^-1=[,x^(1);x^(2);x^(3),] coincide com os métodos anteriores.

Passo 5

Os três métodos fornecem a mesma matriz, portanto a inversa está confirmada.

Resposta

F^-1 = tfrac12 & tfrac14 & 0 -tfrac14 & -tfrac38 & tfrac12 0 & tfrac12 & 0

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