Seja
A=\left[\begin{array}{rr} 3 & 2 \\\\ -4 & -3 \end{array}\right]
(a) Determine os autovalores de A.
(b) Encontre uma matriz invertível P, de ordem 2 , tal que D=P^{-1} \cdot A \cdot P é uma matriz diagonal.
(c) Obtenha uma fórmula geral para A^{n}, onde n \in \mathbb{N}.

Passo 1

O enunciado nos dá a matriz
A = \begin{pmatrix}3 & 2 \\\\ -4 & -3\end{pmatrix}
e pede
(a) os autovalores de A;
(b) uma matriz inversível P tal que D = P^{-1} A P seja diagonal;
(c) uma fórmula geral para A^{n}.
O conteúdo usado será diagonalização de matrizes e potências de matrizes diagonais.

Passo 2

Para achar os autovalores calculamos o polinômio característico
\det(A - \lambda I) = \det\begin{pmatrix}3-\lambda & 2 \\[6pt] -4 & -3-\lambda\end{pmatrix} = (3-\lambda)(-3-\lambda) - (2)(-4)
= -(9 - \lambda^2) + 8 = \lambda^2 - 1.
Logo, as raízes são
\lambda^2 - 1 = 0 \quad\Longrightarrow\quad \lambda = 1,\,-1.]

Passo 3

Para \lambda=1, resolvemos (A - I)x=0:
\begin{pmatrix}2 & 2 \\\\ -4 & -4\end{pmatrix}\begin{pmatrix}x\y\end{pmatrix}=0 \quad\Longrightarrow\quad y=-x,
um autovetor é \begin{pmatrix}1\\\ -1\end{pmatrix}.
Para \lambda=-1, resolvemos (A + I)x=0:
\begin{pmatrix}4 & 2 \\\\ -4 & -2\end{pmatrix}\begin{pmatrix}x\y\end{pmatrix}=0 \quad\Longrightarrow\quad y=-2x,
um autovetor é \begin{pmatrix}1\\\ -2\end{pmatrix}.
Tomando
P = \begin{pmatrix}1 & 1 \\[3pt] -1 & -2\end{pmatrix},
suas colunas são os autovetores associados a 1 e -1.
O determinante de P é \det P = (1)(-2)-(1)(-1) = -1\ne0, logo P é inversível.
Calcula-se
P^{-1} = \frac1{-1}\begin{pmatrix}-2 & -1 \\[3pt] 1 & 1\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}2 & 1 \\[3pt] -1 & -1\end{pmatrix},
e então
D = P^{-1} A P = \begin{pmatrix}1 & 0 \\[3pt] 0 & -1\end{pmatrix}.]

Passo 4

Como D é diagonal,
D^{n} = \begin{pmatrix}1^n & 0 \\[3pt] 0 & (-1)^n\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}1 & 0 \\[3pt] 0 & (-1)^n\end{pmatrix}.
Usando A^n = P\,D^n\,P^{-1}, obtemos
A^n = P \begin{pmatrix}1 & 0 \\[3pt] 0 & (-1)^n\end{pmatrix} P^{-1}.
Em particular, se n é par então (-1)^n=1 e D^n=I, logo A^n=I; se n é ímpar então (-1)^n=-1 e D^n=D, logo A^n=A.]

Resposta

(a) Os autovalores são \lambda=1\) e \(\lambda=-1\). (b) Pode-se escolher \[P = \begin{pmatrix}1 & 1 \\[3pt] -1 & -2\end{pmatrix}, \quad D = P^{-1}AP = \begin{pmatrix}1 & 0 \\[3pt] 0 & -1\end{pmatrix}.
(c)
A^{n} = \begin{cases} I, & \text{se \(n é par},\[4pt] A, & se n é ímpar. \end{cases}]]

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