Responda os itens abaixo
(a) (1,5 ponto) Mostre que o conjunto
é um subespaço vetorial de
;
(b) (1 ponto) Determine um conjunto de geradores para
;
(c) (1 ponto) Determine uma base para
;
(d)
ponto) Qual a dimensāo de
?
(a) (1,5 ponto) Mostre que o conjunto
(b) (1 ponto) Determine um conjunto de geradores para
(c) (1 ponto) Determine uma base para
(d)
Passo 1
O enunciado define
pede (a) mostrar que
é subespaço de
, (b) um conjunto de geradores, (c) uma base e (d) a dimensão de
. Vamos usar definição de subespaço e parametrizar a equação linear.
Passo 2
Para ver que
é subespaço, verificamos:
- O vetor zero
satisfaz
logo
.
2. Se e
, então
2. Se
logo
.
3. Se e
,
3. Se
logo
. Concluímos que
é subespaço.
Passo 3
Para achar geradores, resolvemos
Escrevendo
, parametricamente:
Portanto
que é um conjunto de geradores.
Passo 4
Para evitar frações na base, note que podemos reparametrizar
. Então
Os vetores
são linearmente independentes (basta ver que só a combinação trivial gera o zero) e geram
. Logo
é uma base de
.
Passo 5
Como a base tem 3 vetores, concluímos que
Resposta
(a)
é subespaço pois contém
, é fechado em soma e produto por escalar.
(b) Um conjunto de geradores é
(b) Um conjunto de geradores é
(c) Uma base é
(d)
.