Responda os itens abaixo
(a) (1,5 ponto) Mostre que o conjunto V=\left\{(x, y, z, w) \in \mathbb{R}^{4} ; 3 x-y+2 z-\frac{1}{2} w=0\right\} é um subespaço vetorial de \mathbb{R}^{4};
(b) (1 ponto) Determine um conjunto de geradores para V;
(c) (1 ponto) Determine uma base para V;
(d) (0,5 ponto) Qual a dimensāo de V ?

Passo 1

O enunciado define
V = \bigl\{(x,y,z,w)\in\mathbb{R}^4 \mid 3x - y + 2z - \tfrac12 w = 0\bigr\},
pede (a) mostrar que V é subespaço de \mathbb{R}^4, (b) um conjunto de geradores, (c) uma base e (d) a dimensão de V. Vamos usar definição de subespaço e parametrizar a equação linear.

Passo 2

Para ver que V é subespaço, verificamos:
  1. O vetor zero (0,0,0,0) satisfaz
3\cdot0 - 0 + 2\cdot0 - \tfrac12\cdot0 = 0,
logo \mathbf{0}\in V.
2. Se \mathbf{u}=(x_1,y_1,z_1,w_1)\in V e \mathbf{v}=(x_2,y_2,z_2,w_2)\in V, então
3(x_1+x_2)-(y_1+y_2)+2(z_1+z_2)-\tfrac12(w_1+w_2) =(3x_1-y_1+2z_1-\tfrac12w_1)+(3x_2-y_2+2z_2-\tfrac12w_2)=0+0=0,
logo \mathbf{u}+\mathbf{v}\in V.
3. Se \lambda\in\mathbb{R} e \mathbf{u}\in V,
3(\lambda x_1)-(\lambda y_1)+2(\lambda z_1)-\tfrac12(\lambda w_1) =\lambda\,(3x_1-y_1+2z_1-\tfrac12w_1)=\lambda\cdot0=0,
logo \lambda\mathbf{u}\in V. Concluímos que V é subespaço.

Passo 3

Para achar geradores, resolvemos
3x - y + 2z - \tfrac12w = 0 \quad\Longrightarrow\quad y = 3x + 2z - \tfrac12w.
Escrevendo (x,y,z,w) = (x,3x+2z-\tfrac12w,z,w), parametricamente:
(x,y,z,w) = x\,(1,3,0,0) + z\,(0,2,1,0) + w\,(0,-\tfrac12,0,1).
Portanto
V = \operatorname{span}\bigl\{(1,3,0,0),\;(0,2,1,0),\;(0,-\tfrac12,0,1)\bigr\},
que é um conjunto de geradores.

Passo 4

Para evitar frações na base, note que podemos reparametrizar w=2u. Então
(x,y,z,w) = x\,(1,3,0,0) + z\,(0,2,1,0) + u\,(0,-1,0,2).
Os vetores
v_1=(1,3,0,0),\quad v_2=(0,2,1,0),\quad v_3=(0,-1,0,2)
são linearmente independentes (basta ver que só a combinação trivial gera o zero) e geram V. Logo \{v_1,v_2,v_3\} é uma base de V.

Passo 5

Como a base tem 3 vetores, concluímos que
\dim(V)=3.

Resposta

(a) V é subespaço pois contém \mathbf{0}, é fechado em soma e produto por escalar.
(b) Um conjunto de geradores é
\{(1,3,0,0),\;(0,2,1,0),\;(0,-\tfrac12,0,1)\}.
(c) Uma base é
\{(1,3,0,0),\;(0,2,1,0),\;(0,-1,0,2)\}.
(d) \dim(V)=3.

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