Calcule o determinante por expansão em cofatores ao longo de uma linha ou coluna de sua escolha.
lll1 & x & x^2 1 & y & y^2 1 & z & z^2

Passo 1

O enunciado pede o cálculo do determinante da matriz A=1 & x & x^21 & y & y^21 & z & z^2 usando expansão em cofatores. O conteúdo aqui é determinante por expansão e iremos precisar calcular menores de ordem 2 e aplicar a definição de cofiatores.

Passo 2

Escolhemos expandir ao longo da primeira coluna. Lembrando que para qualquer matriz A=(aij) de ordem 3 vale
det A = a11C11 + a21C21 + a31C31,
onde o cofiator Cij = (-1)^i+jMij e Mij é o menor obtido apagando linha i e coluna j.

Passo 3

Calculamos os menores e cofiatores:
M11=y & y^2z & z^2=y z^2 - y^2 z = yz(z-y),
M21=x & x^2z & z^2=x z^2 - x^2 z = xz(z-x),
M31=x & x^2y & y^2=x y^2 - x^2 y = xy(y-x)
Os cofiatores são
C11=+M11=yz(z-y), C21=-M21=-xz(z-x), C31=+M31=xy(y-x)

Passo 4

Substituindo na expansão:
det A = 1cdot yz(z-y) + 1cdotl(-xz(z-x)r) + 1cdot xy(y-x)
que dá
yz(z-y) - xz(z-x) + xy(y-x)

Passo 5

Agora fazemos a fatoração. Primeiro somamos termos:
yz^2 - y^2z - xz^2 + x^2z + xy^2 - x^2y
Agrupando e fatorando passo a passo, obtemos ao final
(y-x)(z-x)(z-y)

Resposta

(y - x)(z - x)(z - y)

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