Em R^4, os vetores seguintes são linearmente independentes?
((0,1,2,-1),(1,2,-1,0),(4,6,1,3))

Passo 1

O enunciado nos dá três vetores em R^4: (0,1,2,-1), (1,2,-1,0) e (4,6,1,3). O tópico é independência linear e vamos precisar verificar se a única combinação a v1 + b v2 + c v3 = 0 leva a a=b=c=0.

Passo 2

Escrevemos a combinação linear nula:
a(0,1,2,-1) + b(1,2,-1,0) + c(4,6,1,3) = (0,0,0,0)
Isso gera o sistema de equações por coordenada:
  1. b + 4c = 0
  2. a + 2b + 6c = 0
  3. 2a - b + c = 0
  4. -a + 3c = 0

Passo 3

Da equação (1) temos b = -4c. Substituindo em (2):
a + 2(-4c) + 6c = a -8c +6c = a -2c = 0
logo a = 2c. Agora usamos (3):
2(2c) -(-4c) + c = 4c +4c + c = 9c = 0

Passo 4

daí c = 0. Com isso a = 2cdot0 = 0 e b = -4cdot0 = 0. A equação (4) confere, pois -0 +3cdot0 = 0.
Como a única solução é a=b=c=0, os vetores são linearmente independentes.

Resposta

Sim, os três vetores são linearmente independentes.

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