Determine a nulidade e o posto das seguintes transformações lineares e construa uma base para o núcleo e a imagem das seguintes transformações lineares:
Passo 1
Estamos com a transformação linear dada por . O que precisamos é a nulidade (dimensão do núcleo), o posto (dimensão da imagem) e bases para e .
Passo 2
Na base canônica, vamos escrever a matriz de . Se , então
Passo 3
Para achar ker A resolvemos M x=0, isto é
-x1+x2+x3=0, x1-x2+x3=0, x1+x2-x3=0
Passo 4
Somando a primeira e a segunda equações obtemos 2x3=0 ⇒ x3=0. Substituindo em qualquer das duas primeiras equações dá -x1+x2=0 e x1-x2=0, o que leva a x1=x2=0. Logo só existe a solução trivial e dimker A=0.
Passo 5
Pelo teorema da dimensão,
dimker A+dimIm,A=3,
logo dimIm,A=3. Alternativamente, det M=4neq0 mostra que A é invertível, confirmando Im,A=R^3 e posto = 3.
Passo 6
Para as bases: no núcleo só temos o vetor zero, então uma base é o conjunto vazio emptyset. Na imagem podemos usar as colunas de M, que são
(-1,1,1),;(1,-1,1),;(1,1,-1)
Resposta
nulidade = 0; posto = 3; base do núcleo = emptyset; base da imagem = {(-1,1,1),,(1,-1,1),,(1,1,-1)}.