Determine a nulidade e o posto das seguintes transformações lineares e construa uma base para o núcleo e a imagem das seguintes transformações lineares:

Passo 1

Estamos com a transformação linear A:R^3toR^3 dada por A(x1,x2,x3)=(-x1+x2+x3,;x1-x2+x3,;x1+x2-x3). O que precisamos é a nulidade (dimensão do núcleo), o posto (dimensão da imagem) e bases para ker A e Im,A.

Passo 2

Na base canônica, vamos escrever a matriz de A. Se e1=(1,0,0),e2=(0,1,0),e3=(0,0,1), então
M=-1 & 1 & 1 1 & -1 & 1 1 & 1 & -1,

Passo 3

Para achar ker A resolvemos M x=0, isto é
-x1+x2+x3=0, x1-x2+x3=0, x1+x2-x3=0

Passo 4

Somando a primeira e a segunda equações obtemos 2x3=0 x3=0. Substituindo em qualquer das duas primeiras equações dá -x1+x2=0 e x1-x2=0, o que leva a x1=x2=0. Logo só existe a solução trivial e dimker A=0.

Passo 5

Pelo teorema da dimensão,
dimker A+dimIm,A=3,
logo dimIm,A=3. Alternativamente, det M=4neq0 mostra que A é invertível, confirmando Im,A=R^3 e posto = 3.

Passo 6

Para as bases: no núcleo só temos o vetor zero, então uma base é o conjunto vazio emptyset. Na imagem podemos usar as colunas de M, que são
(-1,1,1),;(1,-1,1),;(1,1,-1)

Resposta

nulidade = 0; posto = 3; base do núcleo = emptyset; base da imagem = {(-1,1,1),,(1,-1,1),,(1,1,-1)}.

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