Calcule o determinante e a inversa da matriz
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício de matrizes! A gente precisa calcular o determinante e a inversa da matriz
A = 1 & -2 & 3 4 & -1 & 5 2 & 3 & -2 . Para isso, vamos usar conceitos de álgebra linear, especificamente determinantes e matrizes inversas. Vamos precisar saber como calcular o determinante de uma matriz 3x3 e os passos para achar a matriz inversa usando adjuntos e determinantes.
Passo 2
Primeiro, vamos calcular o determinante da matriz
A . Para uma matriz 3x3, o determinante pode ser calculado usando a regra de Sarrus ou a regra dos cofatores. Vou usar a regra dos cofatores aqui.
A regra dos cofatores para uma matriz 3x3
a & b & c d & e & f g & h & i é:
Vamos aplicar isso na nossa matriz
A :
Então,
Passo 3
Vamos calcular cada parte separadamente:
- Primeiro termo:
- Segundo termo:
- Terceiro termo:
Passo 4
Agora, somamos todos os termos:
Então, o determinante de
A é
-7 .
Passo 5
Agora que temos o determinante, podemos prosseguir para encontrar a inversa da matriz
A . A fórmula para a inversa de uma matriz 3x3 é:
Onde
adj(A) é a matriz adjunta de
A , que é a transposta da matriz dos cofatores de
A .
Passo 6
Vamos calcular a matriz dos cofatores de
A . Cada cofator
Cij é dado por:
Onde
Mij é o menor complementar, ou seja, o determinante da submatriz que sobra ao remover a i-ésima linha e a j-ésima coluna de
A .
Vamos calcular cada cofator:
-
C11 = (-1)^1+1 cdot -1 & 5 3 & -2 = 1 cdot [(-1)(-2) - (5)(3)] = 1 cdot (2 - 15) = -13 -
C12 = (-1)^1+2 cdot 4 & 5 2 & -2 = -1 cdot [(4)(-2) - (5)(2)] = -1 cdot (-8 - 10) = 18 -
C13 = (-1)^1+3 cdot 4 & -1 2 & 3 = -1 cdot [(4)(3) - (-1)(2)] = -1 cdot (12 + 2) = -14 -
C21 = (-1)^2+1 cdot -2 & 3 3 & -2 = -1 cdot [(-2)(-2) - (3)(3)] = -1 cdot (4 - 9) = 5 -
C22 = (-1)^2+2 cdot 1 & 3 2 & -2 = 1 cdot [(1)(-2) - (3)(2)] = 1 cdot (-2 - 6) = -8 -
C23 = (-1)^2+3 cdot 1 & -2 2 & 3 = -1 cdot [(1)(3) - (-2)(2)] = -1 cdot (3 + 4) = -7 -
C31 = (-1)^3+1 cdot -2 & 3 -1 & 5 = 1 cdot [(-2)(5) - (3)(-1)] = 1 cdot (-10 + 3) = -7 -
C32 = (-1)^3+2 cdot 1 & 3 4 & 5 = -1 cdot [(1)(5) - (3)(4)] = -1 cdot (5 - 12) = 7 -
C33 = (-1)^3+3 cdot 1 & -2 4 & -1 = 1 cdot [(1)(-1) - (-2)(4)] = 1 cdot (-1 + 8) = 7
Passo 7
Agora, organizamos os cofatores na matriz dos cofatores:
Em seguida, encontramos a matriz adjunta
adj(A) que é a transposta da matriz dos cofatores:
Passo 8
Finalmente, usamos a fórmula da inversa:
Isso significa que multiplicamos cada elemento da adjunta por
1-7 :
Resposta
O determinante da matriz
A é
-7 e a matriz inversa
A^-1 é:
]