Calcule o determinante e a inversa da matriz A=[ccc1 & -2 & 3 4 & -1 & 5 2 & 3 & -2].

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício de matrizes! A gente precisa calcular o determinante e a inversa da matriz A = 1 & -2 & 3 4 & -1 & 5 2 & 3 & -2 . Para isso, vamos usar conceitos de álgebra linear, especificamente determinantes e matrizes inversas. Vamos precisar saber como calcular o determinante de uma matriz 3x3 e os passos para achar a matriz inversa usando adjuntos e determinantes.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular o determinante da matriz A . Para uma matriz 3x3, o determinante pode ser calculado usando a regra de Sarrus ou a regra dos cofatores. Vou usar a regra dos cofatores aqui.
A regra dos cofatores para uma matriz 3x3 a & b & c d & e & f g & h & i é:
det(A) = a(ei - fh) - b(di - fg) + c(dh - eg)
Vamos aplicar isso na nossa matriz A :
A = 1 & -2 & 3 4 & -1 & 5 2 & 3 & -2
Então,
det(A) = 1 cdot [(-1)(-2) - (5)(3)] - (-2) cdot [(4)(-2) - (5)(2)] + 3 cdot [(4)(3) - (-1)(2)]

Passo 3

Vamos calcular cada parte separadamente:
  1. Primeiro termo:
1 cdot [(-1)(-2) - (5)(3)] = 1 cdot [2 - 15] = 1 cdot (-13) = -13
  1. Segundo termo:
-(-2) cdot [(4)(-2) - (5)(2)] = 2 cdot [-8 - 10] = 2 cdot (-18) = -36
  1. Terceiro termo:
3 cdot [(4)(3) - (-1)(2)] = 3 cdot [12 + 2] = 3 cdot 14 = 42

Passo 4

Agora, somamos todos os termos:
det(A) = -13 - 36 + 42 = (-13 - 36) + 42 = -49 + 42 = -7
Então, o determinante de A é -7 .

Passo 5

Agora que temos o determinante, podemos prosseguir para encontrar a inversa da matriz A . A fórmula para a inversa de uma matriz 3x3 é:
A^-1 = 1det(A) cdot adj(A)
Onde adj(A) é a matriz adjunta de A , que é a transposta da matriz dos cofatores de A .

Passo 6

Vamos calcular a matriz dos cofatores de A . Cada cofator Cij é dado por:
Cij = (-1)^i+j cdot Mij
Onde Mij é o menor complementar, ou seja, o determinante da submatriz que sobra ao remover a i-ésima linha e a j-ésima coluna de A .
Vamos calcular cada cofator:
  1. C11 = (-1)^1+1 cdot -1 & 5 3 & -2 = 1 cdot [(-1)(-2) - (5)(3)] = 1 cdot (2 - 15) = -13
  2. C12 = (-1)^1+2 cdot 4 & 5 2 & -2 = -1 cdot [(4)(-2) - (5)(2)] = -1 cdot (-8 - 10) = 18
  3. C13 = (-1)^1+3 cdot 4 & -1 2 & 3 = -1 cdot [(4)(3) - (-1)(2)] = -1 cdot (12 + 2) = -14
  4. C21 = (-1)^2+1 cdot -2 & 3 3 & -2 = -1 cdot [(-2)(-2) - (3)(3)] = -1 cdot (4 - 9) = 5
  5. C22 = (-1)^2+2 cdot 1 & 3 2 & -2 = 1 cdot [(1)(-2) - (3)(2)] = 1 cdot (-2 - 6) = -8
  6. C23 = (-1)^2+3 cdot 1 & -2 2 & 3 = -1 cdot [(1)(3) - (-2)(2)] = -1 cdot (3 + 4) = -7
  7. C31 = (-1)^3+1 cdot -2 & 3 -1 & 5 = 1 cdot [(-2)(5) - (3)(-1)] = 1 cdot (-10 + 3) = -7
  8. C32 = (-1)^3+2 cdot 1 & 3 4 & 5 = -1 cdot [(1)(5) - (3)(4)] = -1 cdot (5 - 12) = 7
  9. C33 = (-1)^3+3 cdot 1 & -2 4 & -1 = 1 cdot [(1)(-1) - (-2)(4)] = 1 cdot (-1 + 8) = 7

Passo 7

Agora, organizamos os cofatores na matriz dos cofatores:
Cof(A) = -13 & 18 & -14 5 & -8 & -7 -7 & 7 & 7
Em seguida, encontramos a matriz adjunta adj(A) que é a transposta da matriz dos cofatores:
adj(A) = -13 & 5 & -7 18 & -8 & 7 -14 & -7 & 7

Passo 8

Finalmente, usamos a fórmula da inversa:
A^-1 = 1det(A) cdot adj(A) = 1-7 cdot -13 & 5 & -7 18 & -8 & 7 -14 & -7 & 7
Isso significa que multiplicamos cada elemento da adjunta por 1-7 :
A^-1 = 137 & -57 & 77 -187 & 87 & -77 147 & 77 & -77 = 137 & -57 & 1 -187 & 87 & -1 2 & 1 & -1

Resposta

O determinante da matriz A é -7 e a matriz inversa A^-1 é:
A^-1 = dfrac137 & -dfrac57 & 1 [6px] -dfrac187 & dfrac87 & -1 [6px] 2 & 1 & -1
]

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