Nas partes (a)-(k), determine se a afirmação é verdadeira ou falsa, justificando sua resposta.
(d) O conjunto
é um subespaço de
.
(d) O conjunto
Passo 1
Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. A pergunta é: “O conjunto
é um subespaço de
?” Aqui, estamos lidando com álgebra linear, especificamente com subespaços vetoriais. Para resolver, precisamos saber o que define um subespaço e se
cumpre esses critérios dentro de
.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é um subespaço vetorial. Um subconjunto
de um espaço vetorial
é um subespaço se:
- Contém o vetor zero: ou seja, o ponto de origem está em
. - É fechado sob adição: se você pegar dois vetores em
, a soma deles também está em . - É fechado sob multiplicação por escalar: se você pegar um vetor em
e multiplicar por qualquer número real, o resultado ainda está em .
Passo 3
Agora, vamos analisar
como um subconjunto de
. Para isso, podemos imaginar
como o conjunto de vetores do tipo
em
. Ou seja, estamos “depositando” o plano
no espaço tridimensional, deixando a terceira coordenada sempre zero.
Passo 4
Vamos verificar os três critérios para ver se esse conjunto é um subespaço:
- Contém o vetor zero: O vetor
está em quando representado em , então satisfaz esse critério. - Fechado sob adição: Se pegarmos dois vetores
e , sua soma será , que ainda está no conjunto. - Fechado sob multiplicação por escalar: Se multiplicarmos
por um escalar , obtemos , que também está no conjunto.
Passo 5
Como os três critérios são satisfeitos, podemos concluir que
, quando considerado como o conjunto de vetores
em
, é um subespaço de
.
Resposta
Verdadeiro. O conjunto
, ao ser considerado como
em
, satisfaz os critérios de um subespaço vetorial.