Nas partes (a)-(k), determine se a afirmação é verdadeira ou falsa, justificando sua resposta.
(d) O conjunto R^2 é um subespaço de R^3.

Passo 1

Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. A pergunta é: “O conjunto R^2 é um subespaço de R^3?” Aqui, estamos lidando com álgebra linear, especificamente com subespaços vetoriais. Para resolver, precisamos saber o que define um subespaço e se R^2 cumpre esses critérios dentro de R^3.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é um subespaço vetorial. Um subconjunto W de um espaço vetorial V é um subespaço se:
  1. Contém o vetor zero: ou seja, o ponto de origem está em W.
  2. É fechado sob adição: se você pegar dois vetores em W, a soma deles também está em W.
  3. É fechado sob multiplicação por escalar: se você pegar um vetor em W e multiplicar por qualquer número real, o resultado ainda está em W.

Passo 3

Agora, vamos analisar R^2 como um subconjunto de R^3. Para isso, podemos imaginar R^2 como o conjunto de vetores do tipo (x, y, 0) em R^3. Ou seja, estamos “depositando” o plano R^2 no espaço tridimensional, deixando a terceira coordenada sempre zero.

Passo 4

Vamos verificar os três critérios para ver se esse conjunto é um subespaço:
  1. Contém o vetor zero: O vetor (0, 0, 0) está em R^2 quando representado em R^3, então satisfaz esse critério.
  2. Fechado sob adição: Se pegarmos dois vetores (x1, y1, 0) e (x2, y2, 0), sua soma será (x1 + x2, y1 + y2, 0), que ainda está no conjunto.
  3. Fechado sob multiplicação por escalar: Se multiplicarmos (x, y, 0) por um escalar k, obtemos (k x, k y, 0), que também está no conjunto.

Passo 5

Como os três critérios são satisfeitos, podemos concluir que R^2, quando considerado como o conjunto de vetores (x, y, 0) em R^3, é um subespaço de R^3.

Resposta

Verdadeiro. O conjunto R^2, ao ser considerado como (x, y, 0) em R^3, satisfaz os critérios de um subespaço vetorial.

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