Defina: Equação Linear; Sistema Linear, Matriz; Matriz Invertível, Espaço Vetorial e Espaço Vetorial Finitamente Gerado.

Passo 1

O enunciado pede que definamos seis conceitos fundamentais de álgebra linear: equação linear, sistema linear, matriz, matriz invertível, espaço vetorial e espaço vetorial finitamente gerado. Vamos apresentar cada definição de forma clara, usando a notação padrão com LaTeX.

Passo 2

Definimos uma equação linear em n incógnitas como toda expressão da forma
a1x1 + a2x2 + dots + anxn = b,
onde a1,dots,an,b são escalares (numéricos) e x1,dots,xn são as incógnitas.

Passo 3

Um sistema linear é um conjunto finito de equações lineares envolvendo as mesmas incógnitas. Em notação, um sistema com m equações e n incógnitas é
a11x1 + dots + a1nxn = b1, a21x1 + dots + a2nxn = b2, vdots am1x1 + dots + amnxn = bm

Passo 4

Uma matriz é um arranjo retangular de escalares organizado em m linhas e n colunas. Denotamos
A = (aij)i=1,dots,m^j=1,dots,n,
onde aij é o elemento da i-ésima linha e j-ésima coluna.

Passo 5

Uma matriz quadrada Ain K^ntimes n é invertível se existir outra matriz A^-1in K^ntimes n tal que
A,A^-1 = A^-1A = In,
onde In é a matriz identidade de ordem n.

Passo 6

Um espaço vetorial sobre um corpo K é um conjunto V munido de duas operações: adição interna
+: V times V to V
e multiplicação por escalar
cdot: K times V to V,
que satisfazem os oito axiomas (associatividade, comutatividade, elemento neutro e inverso para a adição, e compatibilidades com a multiplicação por escalar).

Passo 7

Um espaço vetorial V é finitamente gerado (ou de dimensão finita) se existe um conjunto finito v1,dots,vksubset V tal que todo vin V pode ser escrito como combinação linear
v = alpha1v1 + dots + alphakvk,
com alphaiin K.

Resposta

  • Equação Linear: expressão da forma
  • Sistema Linear: conjunto de
  • Matriz: arranjo retangular linhas e colunas.
  • Matriz Invertível: matriz quadrada que admite tal que
  • Espaço Vetorial: conjunto com operações de adição e multiplicação por escalar sobre um corpo , satisfazendo os axiomas de espaço vetorial.
  • Espaço Vetorial Finitamente Gerado: espaço vetorial que possui um conjunto finito cujo span é todo .

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