Quais dos seguintes são combinações lineares de

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para a gente verificar quais das matrizes listadas (a, b, c e d) podem ser obtidas como combinações lineares das matrizes A, B e C fornecidas. Para isso, vamos precisar entender o que é uma combinação linear e como aplicá-la para resolver o problema.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é uma combinação linear. Basicamente, uma combinação linear de matrizes A, B e C significa que existe um conjunto de números (coeficientes) x, y, z tais que:
xA + yB + zC = Matriz alvo
Nosso objetivo é encontrar esses coeficientes x, y, z para cada uma das opções (a, b, c e d) e verificar se a equação é verdadeira.

Passo 3

Vamos começar verificando a opção (a):
[rr 6 & -8 -1 & -8 ]
Queremos encontrar x, y, z tais que:
x[rr 4 & 0 -2 & -2 ] + y[rr 1 & -1 2 & 3 ] + z[ll 0 & 2 1 & 4 ] = [rr 6 & -8 -1 & -8 ]
Vamos montar as equações para cada posição da matriz:
  1. Posição (1,1):
4x + 1y + 0z = 6 Rightarrow 4x + y = 6 (1)
  1. Posição (1,2):
0x -1y + 2z = -8 Rightarrow -y + 2z = -8 (2)
  1. Posição (2,1):
-2x + 2y + 1z = -1 Rightarrow -2x + 2y + z = -1 (3)
  1. Posição (2,2):
-2x + 3y + 4z = -8 Rightarrow -2x + 3y + 4z = -8 (4)
Agora, vamos resolver esse sistema de equações.

Passo 4

Vamos resolver o sistema passo a passo.
A partir da equação (1):
4x + y = 6 Rightarrow y = 6 - 4x (1a)
Substituindo y = 6 - 4x na equação (2):
-(6 - 4x) + 2z = -8 -6 + 4x + 2z = -8 4x + 2z = -2 Dividindo por 2: 2x + z = -1 (2a)
Agora, substituindo y = 6 - 4x na equação (3):
-2x + 2(6 - 4x) + z = -1 -2x + 12 - 8x + z = -1 -10x + z = -13 (3a)
Temos agora duas equações com x e z :
  1. 2x + z = -1 (2a)
  2. -10x + z = -13 (3a)
Vamos subtrair a equação (2a) da equação (3a):
(-10x + z) - (2x + z) = -13 - (-1) -12x = -12 x = 1
Agora que temos x = 1 , substituímos na equação (2a):
2(1) + z = -1 2 + z = -1 z = -3
E na equação (1a):
y = 6 - 4(1) y = 2
Portanto, os coeficientes são x = 1 , y = 2 , z = -3 .

Passo 5

Vamos verificar se esses valores satisfazem a equação original:
1 cdot A + 2 cdot B + (-3) cdot C = [rr 6 & -8 -1 & -8 ]
Calculando:
1 cdot [rr 4 & 0 -2 & -2 ] + 2 cdot [rr 1 & -1 2 & 3 ] + (-3) cdot [ll 0 & 2 1 & 4 ] = [rr 4 & 0 -2 & -2 ] + [rr 2 & -2 4 & 6 ] + [ll 0 & -6 -3 & -12 ] = [rr 6 & -8 -1 & -8 ]
Está batendo certinho!

Resposta

A matriz (a) é uma combinação linear das matrizes A , B e C . Para as demais opções, seria necessário seguir um processo semelhante para verificar se elas também podem ser obtidas dessa forma.

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