Calcule o determinante da matriz C=[cccc1 & 2 & 3 & 5 0 & 0 & -1 & 2 0 & 0 & 3 & 4 3 & 1 & 0 & 2]

Passo 1

O enunciado nos dá a matriz C definida por
C = 1 & 2 & 3 & 5 [4pt] 0 & 0 & -1 & 2 [4pt] 0 & 0 & 3 & 4 [4pt] 3 & 1 & 0 & 2
e pede det(C). Como a primeira coluna tem dois zeros, vamos usar expansão de Laplace por essa coluna.]

Passo 2

Pela expansão de Laplace na primeira coluna, temos
det(C) ;=;sumi=1^4(-1)^,i+1,ci1,det(Mi1),
onde ci1 é o elemento da primeira coluna e Mi1 o menor correspondente. Aqui c21=c31=0, logo só i=1 e i=4 contribuem:
det(C) = (+1)cdot1cdotdet(M11) ;+;(-1)cdot3cdotdet(M41) = det(M11) ;-; 3,det(M41)

Passo 3

O menor M11 é obtido removendo a linha 1 e a coluna 1:
M11 = 0 & -1 & 2 [4pt] 0 & 3 & 4 [4pt] 1 & 0 & 2
Fazendo expansão pela primeira coluna (apenas o elemento na posição (3,1) é não nulo),
det(M11) = 1cdot(-1)^3+1det!-1 & 2 [3pt]3 & 4 = l(-1cdot4 - 2cdot3r) = -4 - 6 = -10 ]

Passo 4

O menor M41 é obtido removendo a linha 4 e a coluna 1:
M41 = 2 & 3 & 5 [4pt] 0 & -1 & 2 [4pt] 0 & 3 & 4
Novamente expandindo pela primeira coluna,
det(M41) = 2cdot(-1)^1+1det!-1 & 2 [3pt]3 & 4 = 2l(-1cdot4 - 2cdot3r) = 2cdot(-10) = -20 ]

Passo 5

Substituindo em det(C)=det(M11)-3det(M41) obtemos
det(C) = (-10) - 3cdot(-20) = -10 + 60 = 50

Resposta

50

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