Determine a matriz Adjunta e a inversa de C=[ccc1 & 1 & -1 2 & -1 & 2 3 & 2 & 1].

Passo 1

O enunciado pede para determinar a matriz adjunta (ou adjugata) de
C = 1 & 1 & -1 2 & -1 & 2 3 & 2 & 1
e, em seguida, usar essa adjunta para calcular C^-1. Vamos precisar do determinante de C, da matriz de cofatores e da definição
Adj(C)=l(matriz de cofatores de Cr)^T, C^-1=1det(C),Adj(C)

Passo 2

Calculando det(C) pela regra de Sarrus ou Laplace na primeira linha:
det(C) =1l((-1)cdot1-2cdot2r) -1l(2cdot1-2cdot3r) +(-1)l(2cdot2-(-1)cdot3r)
=1(-1-4)-1(2-6)-1(4+3) =-5 -(-4)-7 =-5+4-7 =-8

Passo 3

Agora a matriz de cofatores l(Cijr) vem de
Cij=(-1)^i+jdetl(Mijr),
onde Mij é o menor obtido ao eliminar a i-ésima linha e a j-ésima coluna de C. Calculando cada um, obtemos
l(Cijr) = -5 & 4 & 7 -3 & 4 & 1 1 & -4 & -3

Passo 4

A adjunta de C é a transposta da matriz de cofatores:
Adj(C) = -5 & -3 & 1 4 & 4 & -4 7 & 1 & -3

Passo 5

Por fim, a inversa de C é
C^-1 =1det(C),Adj(C) =1-8 -5 & -3 & 1 4 & 4 & -4 7 & 1 & -3 = 58 & 38 & -18[6pt] -tfrac12 & -tfrac12 & tfrac12[4pt] -78 & -18 & 38 ]

Resposta

A adjunta de C é
Adj(C) = -5 & -3 & 1 4 & 4 & -4 7 & 1 & -3 ,
e a inversa é
C^-1 = 58 & 38 & -18 -tfrac12 & -tfrac12 & tfrac12 -78 & -18 & 38

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