Calcule o determinante da matriz M,
M=(ccccc -4 & -6 & -4 & -5 & +0 -3 & +0 & -4 & -3 & -6 -4 & -1 & +0 & +1 & -5 -5 & +0 & -1 & +3 & -4 +3 & +0 & +3 & +0 & +1 )

Passo 1

O enunciado pede o cálculo do determinante de uma matriz 5times5
M= -4 & -6 & -4 & -5 & 0 -3 & 0 & -4 & -3 & -6 -4 & -1 & 0 & 1 & -5 -5 & 0 & -1 & 3 & -4 3 & 0 & 3 & 0 & 1
O conteúdo é determinantes de matrizes de ordem maior, e vamos usar uma combinação de expansão de Laplace (para aproveitar zeros na coluna 2) e operações de linha (para simplificar um determinante 4times4).

Passo 2

Expandimos det(M) pela coluna 2. Como nessa coluna só há entradas não nulas em m12=-6 e m32=-1, temos
det(M) =sumi=1^5(-1)^i+2mi2det(Mi2) =(-1)^3(-6)det(M12)+(-1)^5(-1)det(M32),
isto é
det(M)=6det(M12)+det(M32)

Passo 3

Construímos primeiro M12 removendo linha 1 e coluna 2:
M12= -3 & -4 & -3 & -6 -4 & 0 & 1 & -5 -5 & -1 & 3 & -4 3 & 3 & 0 & 1
Para det(M12) usamos expansão pela primeira coluna. Seja Di1 o menor obtido removendo a linha i e a coluna 1 de M12. Então
det(M12) =-3,D11+4,D21-5,D31-3,D41
Cálculos dos menores:
D11=det0&1&-5-1&3&-43&0&1=34,
D21=det-4&-3&-6-1&3&-43&0&1=75,
D31=det-4&-3&-60&1&-53&0&1=59,
D41=det-4&-3&-60&1&-5-1&3&-4=-65
Substituindo:
det(M12) =-3cdot34+4cdot75-5cdot59-3cdot(-65) =98

Passo 4

Agora M32 obtida removendo linha 3 e coluna 2:
M32= -4 & -4 & -5 & 0 -3 & -4 & -3 & -6 -5 & -1 & 3 & -4 3 & 3 & 0 & 1
Aplicamos operações do tipo “linha linha – múltiplo de outra linha” para zerar a primeira coluna abaixo do pivô -4. Isso não altera o determinante. Após as operações obtemos uma forma triangular:
-4 & * & * & * 0 & -1 & -tfrac274 & -6 0 & 4 & tfrac374 & -4 0 & 0 & -tfrac154 & 1
Logo
det(M32) =-4cdotdet -1 & -tfrac274 & -6 4 & tfrac374 & -4 0 & -tfrac154 & 1
Calculando o 3times3 interno dá tfrac4914, e assim
det(M32)=-4cdot4914=-491

Passo 5

Voltando à fórmula de Laplace:
det(M)=6det(M12)+det(M32) =6cdot98+(-491)=588-491=97

Resposta

97

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