Suponha que seja uma matriz quadrada de ordem 3 e que seja solução do sistema linear homogêneo A X=0. A matriz A é invertível ou não? Justifique.
Passo 1
O enunciado diz que A é uma matriz quadrada de ordem 3 e que existe uma solução não nula X=123
do sistema homogêneo
A,X=0
Queremos decidir se A é invertível.
Passo 2
Lembrando um resultado fundamental de álgebra linear:
uma matriz quadrada A de ordem n é invertível se, e somente se, o sistema homogêneo
A,x=0
possui apenas a solução trivial x=0.
Em outras palavras, invertibilidade Leftrightarrow núcleo(A) = 0.
Passo 3
Aqui o enunciado garante que existe uma solução X=[1,2,3]^Tneq0
tal que A,X=0.
Isso significa que o núcleo de A contém vetores não nulos, logo sua dimensão é >=1 e o posto de A é estritamente menor que 3.
Passo 4
Como o posto de A é menor que a ordem, temos det(A)=0 e, portanto, A é singular.
Resposta
A não é invertível, pois o sistema homogêneo admite solução não trivial.