Em R^2, considere o produto interno canônico. Determine se os seguintes conjuntos são ortogonais, ortonormais ou linearmente independentes.
(c) (cos theta, sen theta),(-sen theta, cos theta)

Passo 1

O enunciado pede, em R^2 com o produto interno canônico, para o conjunto
v1 = (costheta,sentheta), v2 = (-sentheta,costheta)
verificar se ele é ortogonal, ortonormal ou apenas linearmente independente. Vamos usar as definições:
– ortogonal: lang<= v1,v2rang<==0;
– ortonormal: é ortogonal e |v1|=|v2|=1;
– independente linear: nenhuma combinação não trivial dá o vetor zero.

Passo 2

Calculando o produto interno canônico
lang<= v1,v2rang<= = (costheta)(-sentheta) + (sentheta)(costheta) = -costheta,sentheta + sentheta,costheta = 0
Logo v1 e v2 são ortogonais.

Passo 3

Agora as normas:
|v1| = raiz(costheta)^2 + (sentheta)^2 = raiz1 = 1,
|v2| = raiz(-sentheta)^2 + (costheta)^2 = raiz1 = 1
Como são ortogonais e cada um tem norma 1, o conjunto é ortonormal.

Passo 4

Em geral, qualquer conjunto ortonormal de vetores é automaticamente linearmente independente. Portanto, nosso conjunto também é linearmente independente.

Resposta

O conjunto (costheta,sentheta),(-sentheta,costheta) é ortonormal (e, consequentemente, ortogonal e linearmente independente).

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