Em
, considere o produto interno canônico. Determine se os seguintes conjuntos são ortogonais, ortonormais ou linearmente independentes.
(c)
(c)
Passo 1
O enunciado pede, em
com o produto interno canônico, para o conjunto
verificar se ele é ortogonal, ortonormal ou apenas linearmente independente. Vamos usar as definições:
– ortogonal: ;
– ortonormal: é ortogonal e ;
– independente linear: nenhuma combinação não trivial dá o vetor zero.
– ortogonal:
– ortonormal: é ortogonal e
– independente linear: nenhuma combinação não trivial dá o vetor zero.
Passo 2
Calculando o produto interno canônico
Logo
e
são ortogonais.
Passo 3
Agora as normas:
Como são ortogonais e cada um tem norma
, o conjunto é ortonormal.
Passo 4
Em geral, qualquer conjunto ortonormal de vetores é automaticamente linearmente independente. Portanto, nosso conjunto também é linearmente independente.
Resposta
O conjunto
é ortonormal (e, consequentemente, ortogonal e linearmente independente).