Considere em R^3 o produto interno definido por
lang<=(x1, x2, x3),(y1, y2, y3)rang<==(lll x1 & x2 & x3 ) cdot(lll 1 & 1 & 0 1 & 2 & 0 0 & 0 & 1 ) cdot(l y1 y2 y3 )
b) Calcule o ângulo formado pelos vetores (1,0,0) e (-1,1,0) ;(1,0,0) e (0,0,1); (1,0,0) e (0,0,1);

Passo 1

O enunciado define em R^3 o produto interno
lang<= x,yrang<= = x^T A,y, A=1&1&01&2&00&0&1
e pede o ângulo entre os vetores
u=(1,0,0), v=(-1,1,0), w=(0,0,1)
Para isso, vamos usar a definição de norma
|x|=raizlang<= x,xrang<=
e a fórmula do cosseno do ângulo
costheta = lang<= x,yrang<=|x|;|y|

Passo 2

Calculamos as normas de u,v,w.
Primeiro
lang<= u,urang<= = u^T A,u = (1,0,0)110=1,
então |u|=1.
Depois
A,v = A,(-1,1,0)=(0,1,0)^T, lang<= v,vrang<= = v^T(0,1,0)^T=1,
logo |v|=1.
Finalmente
lang<= w,wrang<= = w^T A,w = (0,0,1),(0,0,1)^T = 1,
portanto |w|=1.

Passo 3

Calculamos lang<= u,vrang<= e o ângulo entre u e v.
A,v=(0,1,0)^T, lang<= u,vrang<= = u^T(A,v) = (1,0,0)cdot(0,1,0)=0
Como lang<= u,vrang<==0 e |u||v|=1, temos
costhetauv=0 Longrightarrow thetauv = pi2

Passo 4

Calculamos lang<= u,wrang<= e o ângulo entre u e w (vale para o segundo e o terceiro pares, pois são idênticos).
A,w=(0,0,1)^T, lang<= u,wrang<= = (1,0,0)cdot(0,0,1)=0
De novo costhetauw=0, logo
thetauw = pi2

Resposta

O ângulo entre (1,0,0) e (-1,1,0) é pi2.
O ângulo entre (1,0,0) e (0,0,1) (nos dois últimos casos) é pi2.

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