Calcule o determinante da matriz [lllsin alpha & cos alpha & 1 sin beta & cos beta & 1 sin gamma & cos gamma & 1].

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente precisa calcular o determinante de uma matriz 3 times 3 que envolve funções trigonométricas. O conteúdo aqui é de Álgebra Linear, especificamente o cálculo de determinantes. Para resolver, vamos precisar entender como calcular determinantes de matrizes e usar umas propriedades das funções seno e cosseno.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar como calcular o determinante de uma matriz 3 times 3 . A fórmula geral é:
det(A) = a(ei - fh) - b(di - fg) + c(dh - eg)
onde a, b, c, d, e, f, g, h, i são os elementos da matriz:
a & b & c d & e & f g & h & i

Passo 3

Aplicando essa fórmula à nossa matriz:
A = sin alpha & cos alpha & 1 sin beta & cos beta & 1 sin gamma & cos gamma & 1
Temos:
  • a = sin alpha
  • b = cos alpha
  • c = 1
  • d = sin beta
  • e = cos beta
  • f = 1
  • g = sin gamma
  • h = cos gamma
  • i = 1

Passo 4

Agora, substituindo na fórmula do determinante:
det(A) = sin alpha (cos beta cdot 1 - 1 cdot cos gamma) - cos alpha (sin beta cdot 1 - 1 cdot sin gamma) + 1 (sin beta cdot cos gamma - cos beta cdot sin gamma)
Simplificando cada termo:
det(A) = sin alpha (cos beta - cos gamma) - cos alpha (sin beta - sin gamma) + (sin beta cos gamma - cos beta sin gamma)

Passo 5

Observando o último termo, reconhecemos a identidade trigonométrica:
sin beta cos gamma - cos beta sin gamma = sin(beta - gamma)
Mas também podemos notar que o determinante simplifica para:
det(A) = sin(alpha - beta) + sin(beta - gamma) + sin(gamma - alpha)

Resposta

Portanto, o determinante da matriz dada é:
det(A) = sin(alpha - beta) + sin(beta - gamma) + sin(gamma - alpha)

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