Dadas as matrizes A=[ccc1 & 2 & -1 -2 & -3 & 2 1 & 4 & 5] e B=[ccc1 & 0 & 3 2 & -1 & 4 -3 & -1 & -17], encontre:
Obtenha A e B como soma de uma matriz simétrica e outra anti-simétrica.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício! A gente tem duas matrizes, A e B , e precisa escrevê-las como a soma de uma matriz simétrica e outra anti-simétrica. Para isso, vamos usar alguns conceitos de álgebra linear sobre matrizes simétricas e anti-simétricas. Vamos precisar saber como decompor qualquer matriz quadrada em sua parte simétrica e anti-simétrica.

Passo 2

Primeiro, vamos focar na matriz A . A ideia é separar A em duas partes: uma simétrica ( SA ) e uma anti-simétrica ( KA ). A fórmula para isso é:
SA = A + A^T2 e KA = A - A^T2
Onde A^T é a transposta de A .

Passo 3

Vamos calcular A^T :
A = 1 & 2 & -1 -2 & -3 & 2 1 & 4 & 5 Rightarrow A^T = 1 & -2 & 1 2 & -3 & 4 -1 & 2 & 5

Passo 4

Agora, calculamos SA :
SA = A + A^T2 = 12 ( 1 & 2 & -1 -2 & -3 & 2 1 & 4 & 5 + 1 & -2 & 1 2 & -3 & 4 -1 & 2 & 5 ) = 12 2 & 0 & 0 0 & -6 & 6 0 & 6 & 10 = 1 & 0 & 0 0 & -3 & 3 0 & 3 & 5

Passo 5

Em seguida, calculamos KA :
KA = A - A^T2 = 12 ( 1 & 2 & -1 -2 & -3 & 2 1 & 4 & 5 - 1 & -2 & 1 2 & -3 & 4 -1 & 2 & 5 ) = 12 0 & 4 & -2 -4 & 0 & -2 2 & 2 & 0 = 0 & 2 & -1 -2 & 0 & -1 1 & 1 & 0

Passo 6

Agora, vamos fazer o mesmo para a matriz B . Primeiro, calculamos B^T :
B = 1 & 0 & 3 2 & -1 & 4 -3 & -1 & -17 Rightarrow B^T = 1 & 2 & -3 0 & -1 & -1 3 & 4 & -17

Passo 7

Calculamos SB :
SB = B + B^T2 = 12 ( 1 & 0 & 3 2 & -1 & 4 -3 & -1 & -17 + 1 & 2 & -3 0 & -1 & -1 3 & 4 & -17 ) = 12 2 & 2 & 0 2 & -2 & 3 0 & 3 & -34 = 1 & 1 & 0 1 & -1 & 1.5 0 & 1.5 & -17

Passo 8

E finalmente, calculamos KB :
KB = B - B^T2 = 12 ( 1 & 0 & 3 2 & -1 & 4 -3 & -1 & -17 - 1 & 2 & -3 0 & -1 & -1 3 & 4 & -17 ) = 12 0 & -2 & 6 2 & 0 & 5 -6 & -5 & 0 = 0 & -1 & 3 1 & 0 & 2.5 -3 & -2.5 & 0

Resposta

Assim, as matrizes A e B como soma de uma matriz simétrica e outra anti-simétrica são:
A = 1 & 0 & 0 0 & -3 & 3 0 & 3 & 5 + 0 & 2 & -1 -2 & 0 & -1 1 & 1 & 0
B = 1 & 1 & 0 1 & -1 & 1.5 0 & 1.5 & -17 + 0 & -1 & 3 1 & 0 & 2.5 -3 & -2.5 & 0

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