Verifique se as seguintes matrizes são invertíveis e, caso sim, determine sua inversa:
[lll1 & 1 & 0 3 & 1 & 1 2 & 1 & 1]

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício de matrizes! A questão pede para verificar se a matriz dada é invertível e, se for, encontrar sua inversa. Vamos usar conceitos de álgebra linear, como determinante e matriz adjunta, para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, precisamos verificar se a matriz é invertível. Para isso, vamos calcular o determinante dela. Se o determinante for diferente de zero, a matriz é invertível.
A matriz dada é:
A = 1 & 1 & 0 3 & 1 & 1 2 & 1 & 1

Passo 3

Vamos calcular o determinante de A . Para uma matriz 3x3, o determinante é calculado assim:
det(A) = a(ei - fh) - b(di - fg) + c(dh - eg)
Onde:
A = a & b & c d & e & f g & h & i
Aplicando os valores da nossa matriz:
det(A) = 1(1 cdot 1 - 1 cdot 1) - 1(3 cdot 1 - 1 cdot 2) + 0(3 cdot 1 - 1 cdot 2)

Passo 4

Vamos calcular cada parte:
1(1 cdot 1 - 1 cdot 1) = 1(1 - 1) = 1 cdot 0 = 0
-1(3 cdot 1 - 1 cdot 2) = -1(3 - 2) = -1 cdot 1 = -1
0(3 cdot 1 - 1 cdot 2) = 0 cdot (3 - 2) = 0 cdot 1 = 0
Somando tudo:
det(A) = 0 - 1 + 0 = -1

Passo 5

Como o determinante det(A) = -1 é diferente de zero, a matriz A é invertível.

Passo 6

Agora, vamos encontrar a inversa da matriz A . A fórmula para a inversa de uma matriz 3x3 é:
A^-1 = 1det(A) cdot adj(A)
Onde adj(A) é a matriz adjunta. Para encontrar a adjunta, precisamos calcular a matriz dos cofatores e então transpor essa matriz.

Passo 7

Vamos calcular os cofatores de A :
C11 = 1 & 1 1 & 1 = (1)(1) - (1)(1) = 0
C12 = - 3 & 1 2 & 1 = -[(3)(1) - (1)(2)] = -(3 - 2) = -1
C13 = 3 & 1 2 & 1 = (3)(1) - (1)(2) = 3 - 2 = 1
C21 = - 1 & 0 1 & 1 = -[(1)(1) - (0)(1)] = -1
C22 = 1 & 0 2 & 1 = (1)(1) - (0)(2) = 1
C23 = - 1 & 1 2 & 1 = -[(1)(1) - (1)(2)] = -(-1) = 1
C31 = 1 & 0 1 & 1 = (1)(1) - (0)(1) = 1
C32 = - 1 & 0 3 & 1 = -[(1)(1) - (0)(3)] = -1
C33 = 1 & 1 3 & 1 = (1)(1) - (1)(3) = 1 - 3 = -2

Passo 8

Montamos a matriz dos cofatores:
Cof(A) = 0 & -1 & 1 -1 & 1 & 1 1 & -1 & -2
Agora, vamos transpor essa matriz para obter a adjunta:
adj(A) = 0 & -1 & 1 -1 & 1 & -1 1 & 1 & -2

Passo 9

Finalmente, calculamos a inversa usando a fórmula:
A^-1 = 1-1 cdot 0 & -1 & 1 -1 & 1 & -1 1 & 1 & -2 = 0 & 1 & -1 1 & -1 & 1 -1 & -1 & 2

Resposta

A matriz é invertível e sua inversa é:
A^-1 = 0 & 1 & -1 1 & -1 & 1 -1 & -1 & 2

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