Calcule o determinante da matriz abaixo:
A=(cccc 4 & 1 & 2 & 0 3 & 0 & 1 & -1 3 & 4 & 1 & 0 -1 & 0 & 1 & 5 )

Passo 1

O enunciado pede o determinante de
A = 4 & 1 & 2 & 0 3 & 0 & 1 & -1 3 & 4 & 1 & 0 -1 & 0 & 1 & 5
Vamos usar expansão de Laplace ao longo da quarta coluna, pois nela há dois zeros, o que simplifica os cálculos.

Passo 2

Expandindo det(A) ao longo da quarta coluna, só ficam as entradas não nulas a2,4=-1 e a4,4=5. Assim,
det(A) = a2,4(-1)^2+4det(M2,4) + a4,4(-1)^4+4det(M4,4),
onde Mi,4 é a submatriz que sobra ao tirar a linha i e a coluna 4 de A. Como (-1)^2+4=(-1)^4=1 e (-1)^4+4=(-1)^8=1, temos
det(A) = -1cdotdet(B) + 5cdotdet(C),
em que
B = M2,4 = 4 & 1 & 2 3 & 4 & 1 -1& 0 & 1 , C = M4,4 = 4 & 1 & 2 3 & 0 & 1 3 & 4 & 1

Passo 3

Vamos calcular det(C). Seja
C = 4 & 1 & 2 3 & 0 & 1 3 & 4 & 1
Pela regra de Sarrus ou expansão na primeira linha:
det(C) =4det!0&14&1 -1det!3&13&1 +2det!3&03&4
Calculando cada menor:
det0&14&1 = 0cdot1 - 1cdot4 = -4, det3&13&1 = 3cdot1 - 1cdot3 = 0, det3&03&4 = 3cdot4 - 0cdot3 = 12
Logo,
det(C) = 4cdot(-4) -1cdot0 +2cdot12 = -16 + 24 = 8

Passo 4

Agora det(B) para
B = 4 & 1 & 2 3 & 4 & 1 -1& 0 & 1
Pela primeira linha:
det(B) =4det!4&10&1 -1det!3&1-1&1 +2det!3&4-1&0
Calculando os menores:
det4&10&1=4cdot1-1cdot0=4, det3&1-1&1=3cdot1-1cdot(-1)=4, det3&4-1&0=3cdot0-4cdot(-1)=4
Logo,
det(B) = 4cdot4 - 1cdot4 + 2cdot4 = 16 - 4 + 8 = 20

Passo 5

Substituindo em det(A) = -1cdotdet(B) + 5cdotdet(C), obtemos
det(A) = -1cdot20 + 5cdot8 = -20 + 40 = 20

Resposta

det(A)=20

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