Determine se as afirmações abaixo são verdadeiras ou falsas. Justifique sua resposta em cada caso.
O sistema abaixo tem infinitas soluções:
r x-2 y+z=3 -2 x+4 y-2 z=4

Passo 1

O enunciado nos dá o sistema linear com duas equações e três incógnitas:
x - 2y + z = 3, -2x + 4y - 2z = 4
O conteúdo principal é o estudo de sistemas lineares: para sabermos se há infinitas soluções, precisamos verificar consistência (se não há contradição) e o número de graus de liberdade (número de incógnitas menos posto da matriz de coeficientes).

Passo 2

Escrevemos a matriz aumentada do sistema:
[ccc|c 1 & -2 & 1 & 3 -2 & 4 & -2 & 4 ]

Passo 3

Aplicamos a operação linha 2 \leftarrow linha ; 2 + 2 \cdot linha ; 1) para simplificar:
[ccc|c 1 & -2 & 1 & 3 0 & 0 & 0 & 4 + 2 cdot 3 ] = [ccc|c 1 & -2 & 1 & 3 0 & 0 & 0 & 10 ]

Passo 4

A segunda linha reduzida fica
0cdot x + 0cdot y + 0cdot z = 10,
ou seja,
0 = 10,
o que é uma contradição. Portanto o sistema é inconsistente e não possui nenhuma solução.

Resposta

A afirmação “o sistema tem infinitas soluções” é falsa.

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