Calcule o determinante da matriz abaixo:
A=[lll 2 & 1 & 7 1 & 3 & 2 5 & 3 & 4 ]

Passo 1

Resumindo o enunciado: queremos calcular o determinante de A, onde
A = 2 & 1 & 7 1 & 3 & 2 5 & 3 & 4
O conteúdo principal é determinante de uma matriz 3times3, que vamos obter por expansão de Laplace (menores e cofatores) ao longo da primeira linha.

Passo 2

A fórmula de Laplace pela primeira linha diz que
det(A) ;=;sumj=1^3(-1)^1+j,a1j,det(M1j),
onde M1j é o menor obtido removendo a linha 1 e a coluna j de A.

Passo 3

1. Para o menor M11:
det(M11) = det3 & 2 [4pt] 3 & 4 = 3cdot4 ;-;2cdot3 = 12 - 6 = 6
2. Para o menor M12:
det(M12) = det1 & 2 [4pt] 5 & 4 = 1cdot4 ;-;2cdot5 = 4 - 10 = -6
3. Para o menor M13:
det(M13) = det1 & 3 [4pt] 5 & 3 = 1cdot3 ;-;3cdot5 = 3 - 15 = -12 ]

Passo 4

Agora aplicamos o sinal de Laplace para obter os cofatores da linha 1:
C11 = (-1)^1+1cdot6 = 6, C12 = (-1)^1+2cdot(-6) = 6, C13 = (-1)^1+3cdot(-12) = -12
As contribuições são então
2cdot C11 = 2cdot6 = 12, 1cdot C12 = 1cdot6 = 6, 7cdot C13 = 7cdot(-12) = -84

Passo 5

Somando essas contribuições, obtemos
det(A) = 12 + 6 - 84 = -66

Resposta

det(A) = -66

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