Calcule o determinante da matriz abaixo:
A=[lll 2 & 1 & 7 1 & 3 & 2 5 & 3 & 4 ]
o determinante dessa matriz é diferente de zero? em caso de resposta afirmativa, por que?

Passo 1

O enunciado pede o cálculo de det(A) para a matriz
A= 2 & 1 & 7 1 & 3 & 2 5 & 3 & 4
e em seguida verificar se esse determinante é diferente de zero. O conteúdo aqui é determinantes de matrizes 3times3 e o critério de invertibilidade (matriz é invertível se, e somente se, seu determinante for não nulo). Vamos usar a regra de Sarrus.

Passo 2

Para aplicar a regra de Sarrus, escrevemos as duas primeiras colunas de A ao lado e calculamos a soma dos produtos das diagonais que descem da esquerda para a direita, menos a soma dos produtos das diagonais que sobem da esquerda para a direita:
det(A) = (2cdot3cdot4 ;+; 1cdot2cdot5 ;+; 7cdot1cdot3) - (5cdot3cdot7 ;+; 3cdot2cdot2 ;+; 4cdot1cdot1)

Passo 3

Calculando cada termo:
2cdot3cdot4=24, 1cdot2cdot5=10, 7cdot1cdot3=21,
logo a soma das diagonais descendentes é
24+10+21=55
Para as diagonais ascendentes:
5cdot3cdot7=105, 3cdot2cdot2=12, 4cdot1cdot1=4,
logo
105+12+4=121
Portanto
det(A)=55-121=-66

Passo 4

Como det(A)=-66neq0, concluímos que a matriz A é invertível e suas colunas são linearmente independentes.

Resposta

det(A)=-66.
Sim, é diferente de zero, pois obtivemos -66, o que implica que A é invertível.

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