o determinante dessa matriz é diferente de zero? em caso de resposta afirmativa, por que?
Ache sua inversa
Passo 1
O enunciado pede para calcular o determinante de
A= 2 & 1 & 7 1 & 3 & 2 5 & 3 & 4 ,
verificar se ele é diferente de zero (logo se A é invertível) e, em caso afirmativo, obter A^-1. Vamos usar expansão por cofatores para o determinante e, depois, a fórmula
A^-1=1det(A),adj(A),
onde adj(A) é a transposta da matriz de cofatores de A.
Passo 2
Calculemos det(A) expandindo pela primeira linha:
det(A) =2det3&23&4 -1det1&25&4 +7det1&35&3
Agora cada menor:
det3&23&4=3cdot4-2cdot3=12-6=6,
det1&25&4=1cdot4-2cdot5=4-10=-6,
det1&35&3=1cdot3-3cdot5=3-15=-12
Substituindo:
det(A)=2cdot6-1cdot(-6)+7cdot(-12)=12+6-84=-66
Passo 3
Como det(A)=-66neq0, a matriz A é invertível. O critério é justamente que uma matriz quadrada tem inversa se, e só se, seu determinante for diferente de zero.
Passo 4
Para achar A^-1 precisamos da matriz de cofatores C=(Cij), onde
Cij=(-1)^i+jdet(Mij),
e Mij é o menor obtido eliminando a linha i e coluna j. Calculando todos: