Calcule o determinante da matriz abaixo:
A=[lll 2 & 1 & 7 1 & 3 & 2 5 & 3 & 4 ]
o determinante dessa matriz é diferente de zero? em caso de resposta afirmativa, por que?
Ache sua inversa

Passo 1

O enunciado pede para calcular o determinante de
A= 2 & 1 & 7 1 & 3 & 2 5 & 3 & 4 ,
verificar se ele é diferente de zero (logo se A é invertível) e, em caso afirmativo, obter A^-1. Vamos usar expansão por cofatores para o determinante e, depois, a fórmula
A^-1=1det(A),adj(A),
onde adj(A) é a transposta da matriz de cofatores de A.

Passo 2

Calculemos det(A) expandindo pela primeira linha:
det(A) =2det3&23&4 -1det1&25&4 +7det1&35&3
Agora cada menor:
det3&23&4=3cdot4-2cdot3=12-6=6,
det1&25&4=1cdot4-2cdot5=4-10=-6,
det1&35&3=1cdot3-3cdot5=3-15=-12
Substituindo:
det(A)=2cdot6-1cdot(-6)+7cdot(-12)=12+6-84=-66

Passo 3

Como det(A)=-66neq0, a matriz A é invertível. O critério é justamente que uma matriz quadrada tem inversa se, e só se, seu determinante for diferente de zero.

Passo 4

Para achar A^-1 precisamos da matriz de cofatores C=(Cij), onde
Cij=(-1)^i+jdet(Mij),
e Mij é o menor obtido eliminando a linha i e coluna j. Calculando todos:
C= 6 & 6 & -12 17 & -27 & -1 -19 & 3 & 5
A adjunta é a transposta de C:
adj(A)=C^T = 6 & 17 & -19 6 & -27 & 3 -12 & -1 & 5

Passo 5

Finalmente, usando
A^-1=1det(A),adj(A),
temos
A^-1 =-166 6 & 17 & -19 6 & -27 & 3 -12 & -1 & 5 = 166 -6 & -17 & 19 -6 & 27 & -3 12 & 1 & -5

Resposta

det(A)=-66, logo det(A)neq0 e A é invertível.
A^-1=166 -6 & -17 & 19 -6 & 27 & -3 12 & 1 & -5

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