Determinar a equação reduzida da elipse sabendo que C(0,0), eixo menor horizontal, e=12 e passa pelo ponto P=(92, 3).

Passo 1

O enunciado pede a equação reduzida de uma elipse de centro em (0,0), com eixo menor sobre o eixo x (logo o eixo maior é vertical), excentricidade e=tfrac12 e que passa por P=l(tfrac92,3r). Vamos usar a forma padrão
x^2b^2 + y^2a^2 = 1,
onde a é o semieixo maior (vertical) e b o semieixo menor (horizontal).

Passo 2

Pela definição de excentricidade temos
e = ca,
com c^2 = a^2 - b^2. Substituindo e=tfrac12
l(tfrac12r)^2 = c^2a^2 = a^2 - b^2a^2 Longrightarrow 14 = 1 - b^2a^2 Longrightarrow b^2a^2 = 34

Passo 3

Da relação acima vem
b^2 = 34,a^2

Passo 4

Como l(tfrac92,3r) está na elipse, temos
l(tfrac92r)^2b^2 + 3^2a^2 = 1
Substituindo b^2 = tfrac34,a^2 resulta
tfrac814tfrac34,a^2 + 9a^2 = 1 ;Longrightarrow; 814cdot43a^2 + 9a^2 = 1 ;Longrightarrow; 27a^2 + 9a^2 = 1 ;Longrightarrow; 36a^2 = 1 ;Longrightarrow; a^2 = 36
Em seguida
b^2 = 34,a^2 = 34times 36 = 27

Passo 5

Agora já temos a^2=36 e b^2=27, então a equação reduzida é
x^227 + y^236 = 1

Resposta

x^227 + y^236 = 1

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