Calcule o determinante da matriz abaixo:
A=[lll 2 & 1 & 7 1 & 3 & 2 5 & 3 & 4 ]
Ache sua inversa

Passo 1

O enunciado pede o cálculo do determinante de
A = 2 & 1 & 7 1 & 3 & 2 5 & 3 & 4
e, em seguida, a matriz inversa A^-1. Vamos usar o método de Laplace (expansão por cofatores) para o determinante e depois obter a inversa pelo adjunto dividido pelo determinante.

Passo 2

Calcular o determinante de A via regra de Sarrus ou expansão na primeira linha:
det(A) =2,(3cdot4 - 2cdot3) -1,(1cdot4 - 2cdot5) +7,(1cdot3 - 3cdot5)
Agora avaliamos cada termo:
3cdot4 - 2cdot3 = 12 - 6 = 6, 1cdot4 - 2cdot5 = 4 - 10 = -6, 1cdot3 - 3cdot5 = 3 - 15 = -12
Substituindo:
det(A) = 2cdot6 -1cdot(-6) +7cdot(-12) =12 +6 -84 = -66

Passo 3

Construir a matriz de cofatores C, onde Cij=(-1)^i+jMij e Mij é o menor de A tirando a linha i e a coluna j.
Os cofatores são:
C = 6 & 6 & -12 17 & -27 & -1 -19 & 3 & 5

Passo 4

Formar a matriz adjunta, que é a transposta de C:
adj(A) = C^T = 6 & 17 & -19 6 & -27 & 3 -12 & -1 & 5

Passo 5

Obter A^-1 dividindo a adjunta pelo determinante:
A^-1 = 1det(A),adj(A) = 1-66 6 & 17 & -19 6 & -27 & 3 -12 & -1 & 5

Passo 6

Simplificando cada elemento:
A^-1 = -6/66 & -17/66 & 19/66 -6/66 & 27/66 & -3/66 12/66 & 1/66 & -5/66 = -1/11 & -17/66 & 19/66 -1/11 & 9/22 & -1/22 2/11 & 1/66 & -5/66

Resposta

det(A) = -66
A^-1 = -tfrac111 & -tfrac1766 & tfrac1966 [6pt] -tfrac111 & tfrac922 & -tfrac122 [6pt] tfrac211 & tfrac166 & -tfrac566 ]

Exercícios relacionados