Calcule o determinante da matriz abaixo usando o desenvolvimento de Laplace (escolha bem a linha!). Depois, o calcule por triangulação. Compare o número de operações efetuadas. Conclua que esta matriz é inversível e obtenha sua inversa usando a Adjunta Clássica.
Calcular \det(A) usando desenvolvimento de Laplace (escolhendo bem a linha/coluna).
Calcular \det(A) por triangulação (eliminação).
Comparar o número de operações efetuadas nos dois métodos.
Concluir se A é inversível.
Obter A^{-1} usando a adjunta clássica (adjugate) — isto é, calcular a matriz dos cofatores, transpor e dividir por \det(A).
Informações relevantes dadas no enunciado:
A matriz A é 4\times4.
Há zeros espalhados que podem ser explorados para reduzir cálculos (por exemplo, a última coluna tem três zeros e um 1: isso é uma dica para usar Laplace nessa coluna).
A partir daqui começo a resolver passo a passo.]
Passo 2
(Laplace) Revisão rápida do método: o desenvolvimento de Laplace diz que, para qualquer linha i ou coluna j,
onde M_{ik} é a submatriz obtida ao eliminar a linha i e a coluna k. Uma boa escolha é a linha/coluna com muitos zeros, porque cada entrada zero elimina um termo inteiro.
Na nossa matriz a coluna 4 é muito conveniente: tem entradas 0,0,0,1. Então ao desenvolver ao longo da coluna 4 só temos um termo não nulo (posição (4,4)): a_{44}=1 e o sinal é (-1)^{4+4}=+1. Portanto
Agora calculo \det(M_{44}). Novamente aproveito zeros: a terceira coluna de M_{44} é (0,1,0)^T. Desenvolvendo por essa coluna (coluna 3 em M_{44}) só há um termo não nulo, na posição (2,3) que vale 1 e tem sinal (-1)^{2+3}=-1. Assim
(Na hora da prova: a estratégia foi escolher a coluna 4 porque só gerou um desenvolvimento — super economia de cálculo.)]
Passo 3
(Triangulação / eliminação) Revisão rápida: na eliminação de Gauss usamos combinações lineares das linhas para obter uma matriz triangular superior; operações do tipo “somar a uma linha um múltiplo de outra” não alteram o determinante; trocar duas linhas muda o sinal do determinante; multiplicar uma linha por escalar k multiplica o determinante por k. No final \det(A) é o produto das entradas da diagonal da forma triangular, ajustado pelos sinais de trocas e fatores de escala usados.
Vou triangularizar procurando minimizar frações: como há um 1 em a_{31}, é conveniente colocá-lo na primeira linha para usar esse pivot inteiro. Faço a troca R_1\leftrightarrow R_3 (uma troca altera o sinal do determinante):
Para pivot na coluna 2, é conveniente trocar R_2\leftrightarrow R_3 porque R_3 agora tem 1 em coluna 2 (evita frações). Essa segunda troca reverte o sinal global (duas trocas no total → sinal final não muda).
Elimino abaixo do pivot R_2 (que tem 1 em coluna 2):
R_3\leftarrow R_3-2R_2 = (0,0,1,0).
R_4\leftarrow R_4-3R_2 = (0,0,2,1).
Agora o pivot na coluna 3 está em R_3 (valor 1):
R_4\leftarrow R_4-2R_3 = (0,0,0,1).
Agora a matriz está triangular superior com diagonal (1,1,1,1). O produto das diagonais é 1. Tivemos duas trocas (sinal (-1)^2=+1), e não fizemos multiplicações de linhas por escalares (além das combinações que não alteram o determinante). Logo
\det(A)=1\cdot 1\cdot 1\cdot 1 = 1,
coincidindo com o resultado do Passo 2.]
Passo 4
(Contagem de operações e comparação) Vamos comparar o número de operações aritméticas (multiplicações e somas/subtrações) necessárias nos dois métodos, contando de forma prática e explorando zeros (isto é, não contando multiplicações triviais por zero se podemos evitá‑las na execução).
Laplace (escolhendo coluna 4):
Desenvolver ao longo da coluna 4: só um termo a_{44}=1 → preciso do \det(M_{44}).
Para \det(M_{44}) desenvolvi pela sua coluna 3 que tem só um termo 1; precisei calcular um determinante 2\times2: \det\begin{pmatrix}2&1\\\ 1&0\end{pmatrix}=2\cdot0-1\cdot1.
Operações efetivas: duas multiplicações (para o 2\cdot0 e para 1\cdot1) e uma subtração; mais uma multiplicação ao aplicar o sinal cofatorial (produto por -1), e multiplicação final por a_{44}=1 é trivial. Contando de forma realista: cerca de 3–4 multiplicações e 1 subtração. É muito pouco trabalho.
Triangulação (eliminação) — contando operações reais explorando zeros como fiz:
Primeira etapa (usar R_1=(1,0,0,0) como pivot): para zerar abaixo só precisei, em cada linha, de 1 multiplicação e 1 subtração (porque o pivô tem zeros nas outras colunas). Foram 3 linhas a eliminar → 3 multiplicações e 3 subtrações.
Segunda etapa (pivot em coluna 2 com 1): mais 2 linhas a eliminar → 2 multiplicações e 2 subtrações.
Terceira etapa (pivot coluna 3): 1 linha a eliminar → 1 multiplicação e 1 subtração.
Total prático: 6 multiplicações e 6 subtrações (12 operações aritméticas elementares). (Se não explorássemos zeros, o número seria maior — como mostrei no raciocínio, a contagem pode subir para ~24 multiplicações + 24 subtrações se fizermos todas as operações em todas as colunas sem aproveitar zeros.)
Conclusão da comparação: o desenvolvimento de Laplace, escolhido inteligentemente (coluna com muitos zeros), exigiu muito menos operações neste caso concreto (apenas algumas multiplicações/subtrações) do que a eliminação, embora a eliminação também seja rápida aqui graças a muitos zeros. Em resumo: Laplace foi mais econômico para este A por causa da coluna com apenas um elemento não nulo.
Passo 5
(Determinante e inversibilidade) Como \det(A)=1\neq 0, a matriz A é inversível. Agora vou obter A^{-1} pela adjunta clássica.
Recordando: a adjunta (ou adjugate) \operatorname{adj}(A) é a transposta da matriz dos cofatores C=(C_{ij}) onde
C_{ij}=(-1)^{i+j}\det(M_{ij}),
com M_{ij} a submatriz obtida eliminando linha i e coluna j. E
A^{-1}=\frac{1}{\det(A)}\operatorname{adj}(A).
Como \det(A)=1, teremos A^{-1}=\operatorname{adj}(A).
Passo 6
(Cálculo dos cofatores) Vou calcular os cofatores C_{ij} de maneira organizada, aproveitando novamente zeros e subdeterminantes simples. Para cada C_{ij} mostro a submatriz relevante e o cálculo do seu determinante.
Linha 1:
C_{11}: submatriz removendo linha 1, coluna 1 é\begin{pmatrix}2&1&0\\[4pt]0&0&0\\[4pt]3&2&1\end{pmatrix},tem uma linha zero → \det=0. Logo C_{11}=0.
C_{12}: submatriz removendo linha 1, coluna 2 é\begin{pmatrix}3&1&0\\[4pt]1&0&0\\[4pt]4&2&1\end{pmatrix}.Expandindo pela coluna 3 (só o último elemento é 1), obtemos \det=-1. O sinal cofatorial é (-1)^{1+2}=-1, então C_{12}=-1\cdot(-1)=1.
C_{13}: submatriz removendo linha 1, coluna 3 é\begin{pmatrix}3&2&0\\[4pt]1&0&0\\[4pt]4&3&1\end{pmatrix}.Expandindo pela coluna 3 (somente último elemento 1 contribui) dá \det=-2. O sinal (-1)^{1+3}=+1, então C_{13}=-2.
C_{14}: submatriz removendo linha 1, coluna 4 é\begin{pmatrix}3&2&1\\[4pt]1&0&0\\[4pt]4&3&2\end{pmatrix}.Expandindo pela segunda linha (tem dois zeros), obtém-se \det=-1. O sinal (-1)^{1+4}=-1, assim C_{14}=-1\cdot(-1)=1.
Linha 2:
C_{21}: submatriz removendo linha 2, coluna 1 é\begin{pmatrix}1&0&0\\[4pt]0&0&0\\[4pt]3&2&1\end{pmatrix},há linha zero → \det=0. Logo C_{21}=0.
C_{22}: submatriz removendo linha 2, coluna 2 é\begin{pmatrix}2&0&0\\[4pt]1&0&0\\[4pt]4&2&1\end{pmatrix},coluna com zeros → \det=0. Logo C_{22}=0.
C_{23}: submatriz removendo linha 2, coluna 3 é\begin{pmatrix}2&1&0\\[4pt]1&0&0\\[4pt]4&3&1\end{pmatrix}.Expandindo pela coluna 3 (apenas último elemento 1), obtém-se \det=-1. O sinal (-1)^{2+3}=-1 dá C_{23}=-1\cdot(-1)=1.
C_{24}: submatriz removendo linha 2, coluna 4 é\begin{pmatrix}2&1&0\\[4pt]1&0&0\\[4pt]4&3&2\end{pmatrix}.Expandindo pela segunda linha (tem zeros) obtém-se \det=-2. O sinal (-1)^{2+4}=+1 dá C_{24}=-2.
Linha 3:
C_{31}: submatriz removendo linha 3, coluna 1 é\begin{pmatrix}1&0&0\\[4pt]2&1&0\\[4pt]3&2&1\end{pmatrix}.Expandindo pela coluna 3 (só o último é 1), \det=1. Sinal (-1)^{3+1}=+1 → C_{31}=1.
C_{32}: submatriz removendo linha 3, coluna 2 é\begin{pmatrix}2&0&0\\[4pt]3&1&0\\[4pt]4&2&1\end{pmatrix}.Expandindo pela coluna 3 (só último 1) dá \det=2. Sinal (-1)^{3+2}=-1 → C_{32}=-2.
C_{33}: submatriz removendo linha 3, coluna 3 é\begin{pmatrix}2&1&0\\[4pt]3&2&0\\[4pt]4&3&1\end{pmatrix}.Expandindo pela coluna 3 (apenas último 1) dá \det=1. Sinal (-1)^{3+3}=+1 → C_{33}=1.
C_{34}: submatriz removendo linha 3, coluna 4 é\begin{pmatrix}2&1&0\\[4pt]3&2&1\\[4pt]4&3&2\end{pmatrix},calculando diretamente resulta \det=0. Com sinal (-1)^{3+4}=-1 fica C_{34}=0.
Linha 4:
C_{41}: submatriz removendo linha 4, coluna 1 tem uma linha zero → \det=0 → C_{41}=0.
C_{42}: submatriz removendo linha 4, coluna 2 tem coluna inteira de zeros na posição apropriada → \det=0 → C_{42}=0.
C_{43}: submatriz removendo linha 4, coluna 3 tem coluna inteira de zeros → \det=0 → C_{43}=0.
C_{44}: submatriz removendo linha 4, coluna 4 é\begin{pmatrix}2&1&0\\[4pt]3&2&1\\[4pt]1&0&0\end{pmatrix},que já tínhamos calculado no Passo 2 e cuja determinante é 1. Sinal (-1)^{4+4}=+1 → C_{44}=1.
Agrupando os cofatores C_{ij} obtemos a matriz dos cofatores
(Fiz uma verificação rápida multiplicando A por essa matriz e obtive a identidade I_4, então a inversa está correta.)]
Resposta
\det(A)=1
Número aproximado de operações (explorando zeros): Laplace (coluna 4) ≈ 3–4 multiplicações e 1 subtração; Triangulação (eliminação, explorando zeros) ≈ 6 multiplicações e 6 subtrações. Portanto Laplace foi aqui mais econômico. A é inversível (porque \det(A)=1).