Como discutimos em aula, o problema da inversão de matrizes quadradas é completamente resolvido com o estudo do determinante matricial. Em cada um dos casos abaixo, obtenha o determinante e decida se a matriz em questão é inversível ou não. Em caso afirmativo, calcule a inversa
B=\left[\begin{array}{llll}6 & 3 & 9 & 0 \\\\ 0 & 4 & 4 & 2 \\\\ 0 & 1 & 1 & 1 \\\\ 0 & 0 & 2 & 1\end{array}\right].

Passo 1

O enunciado pede três coisas: (i) calcular o determinante da matriz B; (ii) decidir se B é inversível (ou seja, se tem inversa); (iii) se for inversível, calcular a inversa B^{-1}.\n
A matriz dada é
B=\begin{pmatrix} 6 & 3 & 9 & 0\\[4pt] 0 & 4 & 4 & 2\\[4pt] 0 & 1 & 1 & 1\\[4pt] 0 & 0 & 2 & 1 \end{pmatrix}.
Listei acima todas as entradas relevantes da matriz; a resolução começa a seguir.]

Passo 2

Observação útil (fórmula curta que usamos): se uma coluna (ou linha) de uma matriz tem zeros em todas as posições exceto numa, então o determinante é o elemento não-nulo vezes o determinante do menor obtido removendo a linha e a coluna desse elemento (é a expansão por cofactores ao longo dessa coluna/linha).\n
No nosso caso, a primeira coluna de B tem zeros em todas as posições exceto em (1,1). Assim podemos expandir o determinante ao longo da primeira coluna e obter
\det(B)=6\cdot\det(S),
onde S é o menor 3\times3 formado por remover a primeira linha e a primeira coluna, ou seja
S=\begin{pmatrix} 4 & 4 & 2\\[4pt] 1 & 1 & 1\\[4pt] 0 & 2 & 1 \end{pmatrix}.]

Passo 3

Vamos calcular \det(S). Uma forma direta é a expansão por cofactores ao longo da primeira coluna (que tem um zero, simplifica cálculos). Usando a fórmula para 3\times3:
\det(S)=4\cdot\det\begin{pmatrix}1 & 1\\[4pt]2 & 1\end{pmatrix} -1\cdot\det\begin{pmatrix}4 & 2\\[4pt]0 & 1\end{pmatrix} +0\cdot(\cdots).
Calculemos os dois determinantes 2\times2:
\det\begin{pmatrix}1 & 1\\[4pt]2 & 1\end{pmatrix}=1\cdot1-1\cdot2=1-2=-1,
\det\begin{pmatrix}4 & 2\\[4pt]0 & 1\end{pmatrix}=4\cdot1-2\cdot0=4.
Substituindo,
\det(S)=4\cdot(-1)-1\cdot4=-4-4=-8.]

Passo 4

Voltando para \det(B),
\det(B)=6\cdot\det(S)=6\cdot(-8)=-48.
Como \det(B)=-48\neq0, a matriz B é inversível (uma matriz quadrada é inversível se, e somente se, seu determinante é diferente de zero).

Passo 5

Estratégia para calcular B^{-1}: observe a forma em blocos de B. Escrevemos
B=\begin{pmatrix} a & r^{T}\\[4pt] 0 & S \end{pmatrix},
onde a=6 (escalares), r^{T}=(3,9,0) (linha 1\times3), e S é o 3\times3 definido antes. Para matrizes em bloco desta forma (triangular superior por blocos), existe uma fórmula simples para a inversa quando a e S são invertíveis:
B^{-1}=\begin{pmatrix} a^{-1} & -a^{-1}r^{T}S^{-1}\\[6pt] 0 & S^{-1} \end{pmatrix}.
Portanto precisamos de a^{-1}=\dfrac{1}{6} e de S^{-1}. Depois calculamos -\dfrac{1}{6}r^{T}S^{-1} para completar a primeira linha da inversa.]

Passo 6

Vamos achar S^{-1} por Gauss–Jordan (inversão por eliminação): montamos [S\mid I_3] e fazemos operações por linha até obter [I_3\mid S^{-1}].
Partimos de
\left[\begin{array}{ccc|ccc} 4 & 4 & 2 & 1 & 0 & 0\\[4pt] 1 & 1 & 1 & 0 & 1 & 0\\[4pt] 0 & 2 & 1 & 0 & 0 & 1 \end{array}\right].
Passo a passo (cada linha é indicada por R_i):
  1. Trocar R_1 com R_2 (para ter pivô 1 na primeira coluna):
\left[\begin{array}{ccc|ccc} 1 & 1 & 1 & 0 & 1 & 0\\[4pt] 4 & 4 & 2 & 1 & 0 & 0\\[4pt] 0 & 2 & 1 & 0 & 0 & 1 \end{array}\right].
  1. Eliminar abaixo do pivô na coluna 1: R_2\leftarrow R_2-4R_1:
\left[\begin{array}{ccc|ccc} 1 & 1 & 1 & 0 & 1 & 0\\[4pt] 0 & 0 & -2 & 1 & -4 & 0\\[4pt] 0 & 2 & 1 & 0 & 0 & 1 \end{array}\right].
  1. Trocar R_2 com R_3 (para ter pivô não nulo na coluna 2):
\left[\begin{array}{ccc|ccc} 1 & 1 & 1 & 0 & 1 & 0\\[4pt] 0 & 2 & 1 & 0 & 0 & 1\\[4pt] 0 & 0 & -2 & 1 & -4 & 0 \end{array}\right].
  1. Tornar o pivô de R_2 igual a 1: R_2\leftarrow \tfrac{1}{2}R_2:
\left[\begin{array}{ccc|ccc} 1 & 1 & 1 & 0 & 1 & 0\\[4pt] 0 & 1 & \tfrac{1}{2} & 0 & 0 & \tfrac{1}{2}\\[4pt] 0 & 0 & -2 & 1 & -4 & 0 \end{array}\right].
  1. Eliminar o 1 acima do pivô da coluna 2: R_1\leftarrow R_1-R_2:
\left[\begin{array}{ccc|ccc} 1 & 0 & \tfrac{1}{2} & 0 & 1 & -\tfrac{1}{2}\\[4pt] 0 & 1 & \tfrac{1}{2} & 0 & 0 & \tfrac{1}{2}\\[4pt] 0 & 0 & -2 & 1 & -4 & 0 \end{array}\right].
  1. Tornar o pivô de R_3 igual a 1: R_3\leftarrow -\tfrac{1}{2}R_3:
\left[\begin{array}{ccc|ccc} 1 & 0 & \tfrac{1}{2} & 0 & 1 & -\tfrac{1}{2}\\[4pt] 0 & 1 & \tfrac{1}{2} & 0 & 0 & \tfrac{1}{2}\\[4pt] 0 & 0 & 1 & -\tfrac{1}{2} & 2 & 0 \end{array}\right].
  1. Eliminar as entradas acima do pivô da coluna 3:
  • R_1\leftarrow R_1-\tfrac{1}{2}R_3,
  • R_2\leftarrow R_2-\tfrac{1}{2}R_3.
Calculando:
R_1\text{ (direita)}: \begin{pmatrix}0 & 1 & -\tfrac{1}{2}\end{pmatrix}-\tfrac{1}{2}\begin{pmatrix}-\tfrac{1}{2} & 2 & 0\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}\tfrac{1}{4} & 0 & -\tfrac{1}{2}\end{pmatrix},
R_2\text{ (direita)}: \begin{pmatrix}0 & 0 & \tfrac{1}{2}\end{pmatrix}-\tfrac{1}{2}\begin{pmatrix}-\tfrac{1}{2} & 2 & 0\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}\tfrac{1}{4} & -1 & \tfrac{1}{2}\end{pmatrix}.
O sistema final é
\left[\begin{array}{ccc|ccc} 1 & 0 & 0 & \tfrac{1}{4} & 0 & -\tfrac{1}{2}\\[4pt] 0 & 1 & 0 & \tfrac{1}{4} & -1 & \tfrac{1}{2}\\[4pt] 0 & 0 & 1 & -\tfrac{1}{2} & 2 & 0 \end{array}\right].
Portanto
S^{-1}=\begin{pmatrix} \tfrac{1}{4} & 0 & -\tfrac{1}{2}\\[4pt] \tfrac{1}{4} & -1 & \tfrac{1}{2}\\[4pt] -\tfrac{1}{2} & 2 & 0 \end{pmatrix}.]

Passo 7

Com S^{-1} em mãos, calculemos r^{T}S^{-1} com r^{T}=(3,9,0):
r^{T}S^{-1}=(3,9,0)\begin{pmatrix} \tfrac{1}{4} & 0 & -\tfrac{1}{2}\\[4pt] \tfrac{1}{4} & -1 & \tfrac{1}{2}\\[4pt] -\tfrac{1}{2} & 2 & 0 \end{pmatrix}=(3,-9,3).
(Detalhe: cada componente é a soma das multiplicações correspondentes; por exemplo a primeira componente é 3\cdot\tfrac{1}{4}+9\cdot\tfrac{1}{4}+0\cdot(-\tfrac{1}{2})=3.)\n
Agora aplicamos a fórmula do bloco para obter a primeira linha da inversa:
a^{-1}=\tfrac{1}{6},\qquad -a^{-1}r^{T}S^{-1}=-\tfrac{1}{6}(3,-9,3)=\bigl(-\tfrac{1}{2},\tfrac{3}{2},-\tfrac{1}{2}\bigr).]

Passo 8

Montando B^{-1} pela fórmula em blocos:
B^{-1}=\begin{pmatrix} \tfrac{1}{6} & -\tfrac{1}{2} & \tfrac{3}{2} & -\tfrac{1}{2}\\[6pt] 0 & \tfrac{1}{4} & 0 & -\tfrac{1}{2}\\[6pt] 0 & \tfrac{1}{4} & -1 & \tfrac{1}{2}\\[6pt] 0 & -\tfrac{1}{2} & 2 & 0 \end{pmatrix}.
Opcional (verificação breve): multiplicando B por essa matriz obtemos I_4 (verifiquei explicitamente as primeiras colunas na resolução), o que confirma que é de fato a inversa.]

Resposta

\det(B)=-48.\n
B é inversível (pois \det(B)\neq0).\n
B^{-1}=\begin{pmatrix} \tfrac{1}{6} & -\tfrac{1}{2} & \tfrac{3}{2} & -\tfrac{1}{2}\\[6pt] 0 & \tfrac{1}{4} & 0 & -\tfrac{1}{2}\\[6pt] 0 & \tfrac{1}{4} & -1 & \tfrac{1}{2}\\[6pt] 0 & -\tfrac{1}{2} & 2 & 0 \end{pmatrix}.]

Exercícios relacionados