Como discutimos em aula, o problema da inversão de matrizes quadradas é completamente resolvido com o estudo do determinante matricial. Em cada um dos casos abaixo, obtenha o determinante e decida se a matriz em questão é inversível ou não. Em caso afirmativo, calcule a inversa
O enunciado pede três coisas: (i) calcular o determinante da matriz B; (ii) decidir se B é inversível (ou seja, se tem inversa); (iii) se for inversível, calcular a inversa B^{-1}.\n
A matriz dada é
Listei acima todas as entradas relevantes da matriz; a resolução começa a seguir.]
Passo 2
Observação útil (fórmula curta que usamos): se uma coluna (ou linha) de uma matriz tem zeros em todas as posições exceto numa, então o determinante é o elemento não-nulo vezes o determinante do menor obtido removendo a linha e a coluna desse elemento (é a expansão por cofactores ao longo dessa coluna/linha).\n
No nosso caso, a primeira coluna de B tem zeros em todas as posições exceto em (1,1). Assim podemos expandir o determinante ao longo da primeira coluna e obter
\det(B)=6\cdot\det(S),
onde S é o menor 3\times3 formado por remover a primeira linha e a primeira coluna, ou seja
Vamos calcular \det(S). Uma forma direta é a expansão por cofactores ao longo da primeira coluna (que tem um zero, simplifica cálculos). Usando a fórmula para 3\times3:
Como \det(B)=-48\neq0, a matriz B é inversível (uma matriz quadrada é inversível se, e somente se, seu determinante é diferente de zero).
Passo 5
Estratégia para calcular B^{-1}: observe a forma em blocos de B. Escrevemos
B=\begin{pmatrix} a & r^{T}\\[4pt] 0 & S \end{pmatrix},
onde a=6 (escalares), r^{T}=(3,9,0) (linha 1\times3), e S é o 3\times3 definido antes. Para matrizes em bloco desta forma (triangular superior por blocos), existe uma fórmula simples para a inversa quando a e S são invertíveis:
(Detalhe: cada componente é a soma das multiplicações correspondentes; por exemplo a primeira componente é 3\cdot\tfrac{1}{4}+9\cdot\tfrac{1}{4}+0\cdot(-\tfrac{1}{2})=3.)\n
Agora aplicamos a fórmula do bloco para obter a primeira linha da inversa:
Opcional (verificação breve): multiplicando B por essa matriz obtemos I_4 (verifiquei explicitamente as primeiras colunas na resolução), o que confirma que é de fato a inversa.]
Resposta
\det(B)=-48.\n B é inversível (pois \det(B)\neq0).\n