Calcule o determinante da matriz abaixo utilizando o desenvolvimento de Laplace:
[llll 1 & 2 & 3 & 0 3 & 2 & 1 & 0 1 & 1 & 0 & 2 0 & 1 & 1 & 1 ]

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! O que a gente precisa fazer é calcular o determinante dessa matriz 4x4 usando o desenvolvimento de Laplace. Isso está dentro do conteúdo de Álgebra Linear, mais especificamente sobre determinantes e cofatores. Para resolver, vamos precisar saber como expandir a matriz usando linhas ou colunas e calcular determinantes de matrizes menores (menores de ordem 3, 2, etc.).

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que o determinante de uma matriz 4x4 pode ser calculado expandindo-a por uma linha ou coluna. A escolha de qual linha ou coluna usar pode facilitar os cálculos. Observando a nossa matriz:
1 & 2 & 3 & 0 3 & 2 & 1 & 0 1 & 1 & 0 & 2 0 & 1 & 1 & 1
Vemos que a última coluna tem um zero, o que pode simplificar os cálculos. Então, vamos expandir pela quarta coluna.

Passo 3

Agora, vamos aplicar a fórmula do desenvolvimento de Laplace para a quarta coluna. A fórmula geral é:
det(A) = sumi=1^n ai,j cdot Ci,j
Onde é o elemento da matriz na linha i e coluna j, e é o cofator correspondente. No nosso caso, j = 4 (quarta coluna).

Passo 4

Vamos calcular cada termo da soma:
  1. Para i = 1,
  2. Para i = 2,
  3. Para i = 3,
  4. Para i = 4,
Note que os dois primeiros termos são multiplicados por zero, então só precisamos calcular os cofatores para i = 3 e i = 4.

Passo 5

Calculando os cofatores:
  • Para i = 3, j = 4:
O cofator C3,4 = (-1)^3+4 cdot det(M3,4) é dado por:
M3,4 = 1 & 2 & 3 3 & 2 & 1 0 & 1 & 1
Onde det(M3,4) = 1 cdot (2 cdot 1 - 1 cdot 1) - 2 cdot (3 cdot 1 - 1 cdot 0) + 3 cdot (3 cdot 1 - 2 cdot 0) = 1(2 - 1) - 2(3 - 0) + 3(3 - 0) = 1(1) - 2(3) + 3(3) = 1 - 6 + 9 = 4 é a matriz menor eliminando a terceira linha e quarta coluna:
C3,4 = (-1)^7 cdot 4 = -4
Calculando o determinante de C4,4 = (-1)^4+4 cdot det(M4,4) :
M4,4 = 1 & 2 & 3 3 & 2 & 1 1 & 1 & 0
Então,
det(M4,4) = 1 cdot (2 cdot 0 - 1 cdot 1) - 2 cdot (3 cdot 0 - 1 cdot 1) + 3 cdot (3 cdot 1 - 2 cdot 1) = 1(0 - 1) - 2(0 - 1) + 3(3 - 2) = 1(-1) - 2(-1) + 3(1) = -1 + 2 + 3 = 4
  • Para i = 4, j = 4:
O cofator C4,4 = (-1)^8 cdot 4 = 4 é dado por:
Onde é a matriz menor eliminando a quarta linha e quarta coluna:
Calculando o determinante de :
Então,

Passo 6

Agora, vamos colocar tudo junto na fórmula do determinante:
det(A) = a1,4 cdot C1,4 + a2,4 cdot C2,4 + a3,4 cdot C3,4 + a4,4 cdot C4,4
Substituindo os valores que encontramos:
det(A) = 0 cdot C1,4 + 0 cdot C2,4 + 2 cdot (-4) + 1 cdot 4 = 0 + 0 - 8 + 4 = -4

Resposta

O determinante da matriz é .

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