Ao escrever a matriz ampliada do sistema de equações abaixo, encontre as soluções utilizando as operações elementares.
c x-2 y+2 z=5 4 x-3 y+2 z=0 x+y+z=6 4 x+2 y+2 z=10

Passo 1

Beleza, vamos lá! Temos um sistema de equações com três variáveis , e . Nosso objetivo é resolver esse sistema usando a matriz ampliada e operações elementares de linha. Para isso, vamos precisar montar a matriz ampliada do sistema e aplicar as operações para encontrar as soluções.

Passo 2

Primeiro, vamos escrever a matriz ampliada do sistema de equações:
1 & -2 & 2 & | & 5 4 & -3 & 2 & | & 0 1 & 1 & 1 & | & 6 4 & 2 & 2 & | & 10
Aqui, cada linha representa uma equação do sistema, e a última coluna depois da barra vertical representa os termos constantes.

Passo 3

Agora, vamos começar a simplificar a matriz para ficar na forma escalonada. Vamos usar a primeira linha para eliminar o R2' = R2 - 4R1 1 & -2 & 2 & | & 5 0 & 5 & -6 & | & -20 1 & 1 & 1 & | & 6 4 & 2 & 2 & | & 10 das outras linhas.
Subtraímos 4 vezes a primeira linha da segunda linha:

Passo 4

Em seguida, subtraímos a primeira linha da terceira linha:
R3' = R3 - R1 1 & -2 & 2 & | & 5 0 & 5 & -6 & | & -20 0 & 3 & -1 & | & 1 4 & 2 & 2 & | & 10

Passo 5

Agora, subtraímos 4 vezes a primeira linha da quarta linha:
R4' = R4 - 4R1 1 & -2 & 2 & | & 5 0 & 5 & -6 & | & -20 0 & 3 & -1 & | & 1 0 & 10 & -6 & | & -10

Passo 6

Vamos simplificar a segunda linha dividindo todos os seus termos por 5:
R2' = R25 1 & -2 & 2 & | & 5 0 & 1 & -65 & | & -4 0 & 3 & -1 & | & 1 0 & 10 & -6 & | & -10

Passo 7

Agora, usamos a segunda linha para eliminar o R3' = R3 - 3R2 1 & -2 & 2 & | & 5 0 & 1 & -65 & | & -4 0 & 0 & 135 & | & 13 0 & 10 & -6 & | & -10 das outras linhas. Subtraímos 3 vezes a segunda linha da terceira linha:

Passo 8

Subtraímos 10 vezes a segunda linha da quarta linha:
R4' = R4 - 10R2 1 & -2 & 2 & | & 5 0 & 1 & -65 & | & -4 0 & 0 & 135 & | & 13 0 & 0 & 0 & | & 30

Passo 9

Observamos que na quarta linha temos , o que é impossível. Isso indica que o sistema não tem solução.

Resposta

O sistema de equações não possui solução.

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