Seja A=(ai j)1 <= i, j <= 2 uma matriz de ordem 2 tal que:
ai j=c i^2-j, se i=j i+2 j, se i neq j
Então, podemos afirmar que:
a) As diagonais secundárias das matrizes A e A^2-A são iguais.
b) As diagonais principais das matrizes A e A^2-A são iguais.
c) A matriz A não possui inversa.
d) A matriz A^2 é igual a [cc0 & 25 16 & 4].
e) O determinante da matriz A^2-A é igual a zero.

Passo 1

O enunciado define a matriz
Precisamos calcular e , além de verificar invertibilidade e determinantes, para analisar as alternativas dadas.

Passo 2

Vamos montar A elemento a elemento:
a11 = 1^2 - 1 = 0, a12 = 1 + 2cdot2 = 5,
a21 = 2 + 2cdot1 = 4, a22 = 2^2 - 2 = 2
Logo,
A = 0 & 5 4 & 2

Passo 3

Calculando A^2 = Acdot A:
A^2 = 0 & 5 4 & 2 0 & 5 4 & 2 = 0cdot0 + 5cdot4 & 0cdot5 + 5cdot2 4cdot0 + 2cdot4 & 4cdot5 + 2cdot2 = 20 & 10 8 & 24

Passo 4

Agora computamos
A^2 - A = 20 & 10 8 & 24 - 0 & 5 4 & 2 = 20 & 5 4 & 22

Passo 5

Analisamos cada item:
a) Diagonais secundárias: em A são (1,2)=5 e (2,1)=4; em A^2-A também são (1,2)=5 e (2,1)=4. Logo coincidem.
b) Diagonais principais: em A são 0 e 2; em A^2-A são 20 e 22. Não coincidem.
c) Invertibilidade de A: det(A)=0cdot2 - 5cdot4 = -20neq0. Logo A é inversível.
d) A verificação de A^2 deu 20 & 10 8 & 24, diferente de 0 & 25 16 & 4.
e) det(A^2 - A)=20cdot22 - 5cdot4 = 440 - 20 = 420neq0.
Assim, só a alternativa (a) é verdadeira.

Resposta

(a) As diagonais secundárias de A e A^2 - A são iguais.

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