Verificar se os pontos \mathrm{A}=(2,1,2), \mathrm{B}=(1,2,-1) e \mathrm{C}=(-1,0,-1) são vértices de algum triângulo retângulo.

Passo 1

O enunciado dá os pontos \mathrm{A}=(2,1,2), \mathrm{B}=(1,2,-1) e \mathrm{C}=(-1,0,-1) e pede para verificar se formam um triângulo retângulo. Vamos usar o Teorema de Pitágoras no espaço, que diz que num triângulo com lados de comprimentos a, b e c, se a^2 + b^2 = c^2, então o ângulo oposto ao lado de comprimento c é reto.

Passo 2

Calcular os quadrados das distâncias entre os pares de pontos. Por exemplo,
\overrightarrow{AB} = \mathrm{B}-\mathrm{A} = (-1,\,1,\,-3), logo
AB^2 = (-1)^2 + 1^2 + (-3)^2 = 1 + 1 + 9 = 11.
De modo análogo,
\overrightarrow{BC} = \mathrm{C}-\mathrm{B} = (-2,\,-2,\,0),
BC^2 = (-2)^2 + (-2)^2 + 0^2 = 4 + 4 + 0 = 8.
E
\overrightarrow{AC} = \mathrm{C}-\mathrm{A} = (-3,\,-1,\,-3),
AC^2 = (-3)^2 + (-1)^2 + (-3)^2 = 9 + 1 + 9 = 19.

Passo 3

Verificamos se alguma soma de dois desses quadrados é igual ao terceiro:
AB^2 + BC^2 = 11 + 8 = 19 = AC^2.
Isso mostra que os segmentos AB e BC são catetos e AC é a hipotenusa.

Passo 4

Como AB e BC se encontram em \mathrm{B}, concluímos que o ângulo \widehat{ABC} é reto. Portanto, os pontos são vértices de um triângulo retângulo.

Resposta

Sim. Eles formam um triângulo retângulo com ângulo reto em \mathrm{B}.

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