Calcule o determinante da matriz: (cccc0 & -1 & 2 & 1 3 & 4 & 5 & 0 1 & 2 & 0 & 1 2 & 0 & 0 & 5).

Passo 1

O enunciado pede o determinante de uma matriz 4times4. O conteúdo é expansão de Laplace (cofatores). Vamos expandir pela primeira linha, calculando os menores 3times3 correspondentes.

Passo 2

Aplicando a fórmula de Laplace pela primeira linha, escrevemos
det(A) =sumj=1^4(-1)^1+ja1jdet(M1j)
onde a1j é o elemento da primeira linha e M1j é a matriz obtida eliminando-se a linha 1 e a coluna j.

Passo 3

Para j=2 temos a12=-1 e
M12 = 3 & 5 & 0 1 & 0 & 1 2 & 0 & 5
Então
det(M12) =3(0cdot5 - 1cdot0);-;5(1cdot5 - 1cdot2) =0;-;5cdot3 =-15
O cofator contribui com
(-1)^1+2a12det(M12) =(-1)^3cdot(-1)cdot(-15) =-15

Passo 4

Para j=3 temos a13=2 e
M13 = 3 & 4 & 0 1 & 2 & 1 2 & 0 & 5
Então
det(M13) =3(2cdot5 - 1cdot0);-;4(1cdot5 - 1cdot2) =3cdot10 ;-;4cdot3 =30-12 =18
O cofator contribui com
(-1)^1+3a13det(M13) =(+1)cdot2cdot18 =36

Passo 5

Para j=4 temos a14=1 e
M14 = 3 & 4 & 5 1 & 2 & 0 2 & 0 & 0
Então
det(M14) =3(2cdot0 - 0cdot0);-;4(1cdot0 - 0cdot2);+;5(1cdot0 - 2cdot2) =0-0+5cdot(-4) =-20
O cofator contribui com
(-1)^1+4a14det(M14) =(-1)cdot1cdot(-20) =20

Passo 6

Somando todas as contribuições (note que a11=0 não gera termo)
det(A) = -15 + 36 + 20 = 41

Resposta

41

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