Calcule o determinante da matriz A=[cccc4 & -5 & 3 & 2 -1 & 0 & 3 & 0 1 & 2 & -1 & 3 2 & 1 & 0 & 4]
Utilizando o Desenvolvimento de Laplace.

Passo 1

O enunciado pede para calcular o determinante da matriz
A = 4 & -5 & 3 & 2 -1 & 0 & 3 & 0 1 & 2 & -1 & 3 2 & 1 & 0 & 4
usando o desenvolvimento de Laplace. O conteúdo aqui é o teorema de Laplace (expansão por cofatores), que diz que
det(A)=sumj=1^n (-1)^i+jaijdet(Aij),
onde escolhemos uma linha ou coluna conveniente para simplificar os cálculos.

Passo 2

Como a segunda linha de A tem dois zeros, vamos expandir ao longo dela. Pela fórmula de Laplace na linha i=2,
det(A) =sumj=1^4(-1)^2+ja2jdet(A2j) =(-1)^3a21det(A21)+(-1)^5a23det(A23),
pois a22=0 e a24=0.

Passo 3

Substituindo a21=-1 e a23=3, obtemos
det(A) =-(-1)det(M21)-3det(M23) =det(M21)-3det(M23),
onde
M21= -5 & 3 & 2 2 & -1 & 3 1 & 0 & 4 , M23= 4 & -5 & 2 1 & 2 & 3 2 & 1 & 4

Passo 4

Para det(M21) usamos a regra de Sarrus ou cofactores:
det(M21) =-5l((-1)cdot4-3cdot0r) -3l(2cdot4-3cdot1r) +2l(2cdot0-(-1)cdot1r)
Calculando:
-5(-4)-3(8-3)+2(0+1) =20-3cdot5+2 =20-15+2 =7

Passo 5

Para det(M23):
det(M23) =4l(2cdot4-3cdot1r) +5l(1cdot4-3cdot2r) +2l(1cdot1-2cdot2r)
Calculando:
4(8-3)+5(4-6)+2(1-4) =4cdot5+5(-2)+2(-3) =20-10-6 =4

Passo 6

Voltando à fórmula principal:
det(A)=det(M21)-3det(M23) =7-3cdot4 =7-12 =-5

Resposta

det(A)=-5

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