Calcule o determinante da matriz
A=[ccccc 1 & -2 & 0 & -1 & -1 0 & 0 & 2 & 2 & 0 1 & -1 & 3 & 1 & 1 2 & 0 & 1 & -1 & 0 0 & 1 & -1 & 1 & 1 ]

Passo 1

Beleza, vamos calcular o determinante da matriz A que você me passou. O determinante é um número especial associado a matrizes quadradas que nos dá informações importantes, como se a matriz é invertível. Para resolver isso, vamos usar métodos de cálculo de determinantes, como a eliminação de Gauss para transformar a matriz em uma forma triangular e então multiplicar os elementos da diagonal principal.

Passo 2

Primeiro, vamos escrever a matriz A :
A = 1 & -2 & 0 & -1 & -1 0 & 0 & 2 & 2 & 0 1 & -1 & 3 & 1 & 1 2 & 0 & 1 & -1 & 0 0 & 1 & -1 & 1 & 1

Passo 3

Nosso objetivo é transformar essa matriz em uma matriz triangular superior, onde todos os elementos abaixo da diagonal principal são zero. Para isso, vamos realizar operações de linha, que são maneiras de adicionar ou multiplicar linhas para simplificar a matriz. É importante lembrar que certas operações podem mudar o valor do determinante, então precisamos acompanhá-las.

Passo 4

Vamos começar com a primeira coluna. O primeiro elemento já é 1, ótimo. Agora, vamos zerar os elementos abaixo dele na primeira coluna.
  • Linha 3: Subtrair a Linha 1 da Linha 3.
  • Linha 4: Subtrair 2 vezes a Linha 1 da Linha 4.
  • Linha 5: Já tem 0 na primeira coluna, então não precisa mudar.
Após essas operações, a matriz fica assim:
1 & -2 & 0 & -1 & -1 0 & 0 & 2 & 2 & 0 0 & 1 & 3 & 2 & 2 0 & 4 & 1 & 1 & 2 0 & 1 & -1 & 1 & 1

Passo 5

Agora, vamos para a segunda coluna. O próximo passo é ter um 1 na segunda posição da segunda coluna. Olhando para a Linha 3, já temos um 1 lá. Vamos usar a Linha 3 para zerar os outros elementos na segunda coluna.
  • Linha 4: Subtrair 4 vezes a Linha 3 da Linha 4.
  • Linha 5: Subtrair a Linha 3 da Linha 5.
A matriz fica:
1 & -2 & 0 & -1 & -1 0 & 0 & 2 & 2 & 0 0 & 1 & 3 & 2 & 2 0 & 0 & -11 & -7 & -6 0 & 0 & -4 & -1 & -1

Passo 6

Seguimos para a terceira coluna. Precisamos de um número diferente de zero na posição (3,3). Já temos um 3 lá na Linha 3. Vamos usar a Linha 3 para zerar os elementos abaixo na terceira coluna.
  • Linha 4: Adicionar (11/3) vezes a Linha 3 à Linha 4.
  • Linha 5: Adicionar (4/3) vezes a Linha 3 à Linha 5.
Depois dessas operações, a matriz fica:
1 & -2 & 0 & -1 & -1 0 & 0 & 2 & 2 & 0 0 & 1 & 3 & 2 & 2 0 & 0 & 0 & -13 & 43 0 & 0 & 0 & 53 & 53

Passo 7

Agora, vamos para a quarta coluna. Queremos um 1 nessa posição (4,4). Podemos multiplicar a Linha 4 por -3 para facilitar.
  • Linha 4: Multiplicar por -3.
A matriz fica:
1 & -2 & 0 & -1 & -1 0 & 0 & 2 & 2 & 0 0 & 1 & 3 & 2 & 2 0 & 0 & 0 & 1 & -4 0 & 0 & 0 & 53 & 53

Passo 8

Finalmente, vamos zerar o elemento abaixo da posição (4,4) na quarta coluna usando a Linha 4.
  • Linha 5: Subtrair (5/3) vezes a Linha 4 da Linha 5.
A matriz triangular superior fica:
1 & -2 & 0 & -1 & -1 0 & 0 & 2 & 2 & 0 0 & 1 & 3 & 2 & 2 0 & 0 & 0 & 1 & -4 0 & 0 & 0 & 0 & 253

Passo 9

Agora que temos a matriz triangular superior, o determinante é simplesmente o produto dos elementos da diagonal principal. Vamos multiplicar:
det(A) = 1 times 0 times 3 times 1 times 253 = 0

Resposta

O determinante da matriz A é 0.

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