Considere o espaço vetorial . Considere Sejam e . Escreva o vetor como combinação linear de e .
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem o espaço vetorial e três vetores: , e . A ideia é escrever o vetor como uma combinação linear dos vetores e . Isso significa encontrar dois números, que a gente pode chamar de e , tais que:
Para isso, vamos precisar montar um sistema de equações e resolver para e .
Passo 2
Primeiro, vamos escrever a equação da combinação linear substituindo os vetores pelos seus componentes:
Isso significa que cada componente do vetor deve ser igual à combinação linear correspondente dos componentes de e . Ou seja:
Agora, temos um sistema de duas equações com duas incógnitas:
Passo 3
Vamos resolver esse sistema para encontrar os valores de a e b. Uma maneira fácil é isolar uma das variáveis em uma das equações e substituir na outra.
Vamos isolar a na primeira equação:
a + 3b = 10 implies a = 10 - 3b
Agora, substituímos esse valor de a na segunda equação:
2(10 - 3b) + 5b = 15
Passo 4
Vamos simplificar a equação substituída para encontrar b: