Considere o espaço vetorial V=R^2. Considere Sejam v1=(1,2) e v2=(3,5). Escreva o vetor v=(10,15) como combinação linear de v1 e v2.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem o espaço vetorial R^2 e três vetores: v1 = (1, 2), v2 = (3, 5) e v = (10, 15). A ideia é escrever o vetor v como uma combinação linear dos vetores v1 e v2. Isso significa encontrar dois números, que a gente pode chamar de a e b, tais que:
v = a cdot v1 + b cdot v2
Para isso, vamos precisar montar um sistema de equações e resolver para a e b.

Passo 2

Primeiro, vamos escrever a equação da combinação linear substituindo os vetores pelos seus componentes:
(10, 15) = a cdot (1, 2) + b cdot (3, 5)
Isso significa que cada componente do vetor v deve ser igual à combinação linear correspondente dos componentes de v1 e v2. Ou seja:
10 = a cdot 1 + b cdot 3
15 = a cdot 2 + b cdot 5
Agora, temos um sistema de duas equações com duas incógnitas:
a + 3b = 10 2a + 5b = 15

Passo 3

Vamos resolver esse sistema para encontrar os valores de a e b. Uma maneira fácil é isolar uma das variáveis em uma das equações e substituir na outra.
Vamos isolar a na primeira equação:
a + 3b = 10 implies a = 10 - 3b
Agora, substituímos esse valor de a na segunda equação:
2(10 - 3b) + 5b = 15

Passo 4

Vamos simplificar a equação substituída para encontrar b:
2 cdot 10 - 2 cdot 3b + 5b = 15 20 - 6b + 5b = 15 20 - b = 15 -b = 15 - 20 -b = -5 b = 5
Então, encontramos que b = 5.

Passo 5

Agora que temos o valor de b, vamos encontrar a usando a expressão que isolamos anteriormente:
a = 10 - 3b = 10 - 3 cdot 5 = 10 - 15 = -5
Portanto, a = -5.

Resposta

O vetor v = (10, 15) pode ser escrito como uma combinação linear dos vetores v1 e v2 da seguinte forma:
v = -5 cdot v1 + 5 cdot v2

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