Sejam alpha=u1=(1,1,0), u2=(2,1,1), u3=(-1,0,1) e beta=v1, v2, v3 bases do R^3 tais que v1=u1-u3, v2=u1+u2-2 u3 e v3=-u1+2 u3.
Encontre [v]beta, se v=(-2,1,-1).

Passo 1

O enunciado fornece as bases alpha=vec u1,vec u2,vec u3 e beta=vec v1,vec v2,vec v3 de R^3, com
vec u1=(1,1,0), vec u2=(2,1,1), vec u3=(-1,0,1),
vec v1=vec u1-vec u3, vec v2=vec u1+vec u2-2vec u3, vec v3=-vec u1+2vec u3,
e pedem as coordenadas de vec v=(-2,1,-1) na base beta. O conteúdo é mudança de base e resolução de sistema linear.

Passo 2

Calcular vec v1,vec v2,vec v3 em coordenadas canônicas somando os vec ui:
vec v1=vec u1-vec u3=(1-(-1),,1-0,,0-1)=(2,1,-1),
vec v2=vec u1+vec u2-2vec u3=(1+2-2(-1),,1+1-2cdot0,,0+1-2cdot1)=(5,2,-1),
vec v3=-vec u1+2vec u3=(-1+2cdot(-1),,-1+2cdot0,,0+2cdot1)=(-3,-1,2)

Passo 3

Procuramos escalares a,b,c tais que
(-2,1,-1)=a(2,1,-1)+b(5,2,-1)+c(-3,-1,2)
Isto gera o sistema
2a+5b-3c=-2, a+2b-c=1, - a - b +2c=-1

Passo 4

Da segunda equação a+2b-c=1 obtemos a=1-2b+c. Substituindo nas primeira e terceira:
2(1-2b+c)+5b-3c=-2implies b-c=-4,
-(1-2b+c)-b+2c=-1implies b+c=0
Solução dessas duas é c=2, b=-2, e então a=1-2(-2)+2=7.

Resposta

[vec v]beta=(7,-2,2)

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