Use as propriedades de determinante para provar que
det[ccc 1 & 1 & 1 a+b & a+c & a+d a^2+a b+b^2 & a^2+a c+c^2 & a^2+a d+d^2 ]=det[ccc 1 & 1 & 1 b & c & d b^2 & c^2 & d^2 ]

Passo 1

Beleza, vamos lá! O que a gente tem aqui é um exercício que envolve determinantes, uma ferramenta poderosa em álgebra linear. A gente precisa provar que o determinante de uma matriz mais complicada é igual ao determinante de uma matriz bem mais simples. Para resolver isso, vamos usar algumas propriedades dos determinantes, como operações com linhas e colunas. Vamos passo a passo!

Passo 2

Primeiro, vamos escrever as duas matrizes que estamos comparando:
A matriz mais complicada:
1 & 1 & 1 a+b & a+c & a+d a^2+a b+b^2 & a^2+a c+c^2 & a^2+a d+d^2
E a matriz mais simples:
1 & 1 & 1 b & c & d b^2 & c^2 & d^2
Nosso objetivo é mostrar que:
det 1 & 1 & 1 a+b & a+c & a+d a^2+a b+b^2 & a^2+a c+c^2 & a^2+a d+d^2 = det 1 & 1 & 1 b & c & d b^2 & c^2 & d^2

Passo 3

Vamos focar na matriz mais complicada e simplificá-la usando operações com as linhas. Lembre-se que podemos adicionar ou subtrair múltiplos de uma linha de outra sem mudar o determinante.
Primeiro, observe que na segunda linha temos termos como a + b , a + c , a + d . Vamos separar o a desses termos. Isso dá:
1 & 1 & 1 a+b & a+c & a+d a^2+a b+b^2 & a^2+a c+c^2 & a^2+a d+d^2 = 1 & 1 & 1 a + b & a + c & a + d a^2 + a b + b^2 & a^2 + a c + c^2 & a^2 + a d + d^2
Podemos reescrever a segunda linha como:
a cdot 1 & 1 & 1 + b & c & d

Passo 4

Agora, vamos usar a propriedade dos determinantes que diz que se uma linha é uma soma de duas linhas, o determinante pode ser separado em duas partes. Aplicando isso, nosso determinante fica:
det 1 & 1 & 1 a + b & a + c & a + d a^2 + a b + b^2 & a^2 + a c + c^2 & a^2 + a d + d^2 = a cdot det 1 & 1 & 1 1 & 1 & 1 a^2 + a b + b^2 & a^2 + a c + c^2 & a^2 + a d + d^2 + det 1 & 1 & 1 b & c & d a^2 + a b + b^2 & a^2 + a c + c^2 & a^2 + a d + d^2
Mas olha só, o primeiro determinante do lado direito tem duas linhas iguais (primeira e segunda), o que faz com que ele seja zero. Então sobra:
det 1 & 1 & 1 a + b & a + c & a + d a^2 + a b + b^2 & a^2 + a c + c^2 & a^2 + a d + d^2 = det 1 & 1 & 1 b & c & d a^2 + a b + b^2 & a^2 + a c + c^2 & a^2 + a d + d^2

Passo 5

Agora, vamos simplificar ainda mais. Olha na terceira linha, temos termos como a^2 + a b + b^2 . Podemos fatorar isso:
a^2 + a b + b^2 = a^2 + b^2 + a b = (a + b)^2 - a b
Mas, para facilitar, vamos considerar o termo a constante e reescrever a terceira linha:
a^2 + a b + b^2 & a^2 + a c + c^2 & a^2 + a d + d^2 = a^2 cdot 1 & 1 & 1 + a cdot b & c & d + b^2 & c^2 & d^2

Passo 6

Vamos de novo usar a propriedade de linearidade do determinante na terceira linha, que permite dividir o determinante em três partes:
det 1 & 1 & 1 b & c & d a^2 + a b + b^2 & a^2 + a c + c^2 & a^2 + a d + d^2 = a^2 cdot det 1 & 1 & 1 b & c & d 1 & 1 & 1 + a cdot det 1 & 1 & 1 b & c & d b & c & d + det 1 & 1 & 1 b & c & d b^2 & c^2 & d^2
Assim como antes, os dois primeiros determinantes têm linhas iguais, então eles são zero. Portanto, sobra:
det 1 & 1 & 1 b & c & d a^2 + a b + b^2 & a^2 + a c + c^2 & a^2 + a d + d^2 = det 1 & 1 & 1 b & c & d b^2 & c^2 & d^2

Resposta

Portanto, provamos que:
det 1 & 1 & 1 a+b & a+c & a+d a^2+a b+b^2 & a^2+a c+c^2 & a^2+a d+d^2 = det 1 & 1 & 1 b & c & d b^2 & c^2 & d^2

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